4.2 水文频率分布曲线

水文频率计算的两个基本内容包括分布线型及参数估计。下面主要介绍我国水文计算中常用的一些分布线型。

连续型随机变量的分布是以概率密度曲线和分布曲线表示的，这些分布在数学上有很多类型。我国水文计算中常用的有正态分布，皮尔逊Ⅲ型分布及对数正态分布等。

SL 44—2006《水利水电工程设计洪水计算规范》规定，频率曲线的线型一般应采用皮尔逊Ⅲ型，特殊情况，经分析论证后可采用其他线型。为此，本节以论述皮尔逊Ⅲ型频率曲线为主，并扼要介绍正态分布。

4.2.1 正态分布

自然界中许多随机变量如水文测量误差、抽样误差等一般服从或近似服从正态分布。正态分布具有以下形式的概率密度函数：

式中：a为平均数；σ为标准差；e为自然对数的底。

正态分布的密度曲线有以下几个特点。

1）单峰。

2）对于均值a对称，即C_s=0。

3）曲线两端趋于±∞，并以x轴为渐近线。

式（4.11）只包含两个参数，即均值a和均方差σ。因此，若某个随机变量服从正态分布。只要求出它的a和σ值，则分布便可确定。

可以证明，正态分布曲线在a±σ处出现拐点，并且：

正态分布的密度曲线与x轴所围成的面积应等于1。由式（4.12）和式（4.13）可以看出，a±σ区间所对应的面积占全面积的68.3%，a±σ区间所对应的面积占全面积的99.7%，如图4.2所示。

图4.2 正态分布密度曲线图

图4.3 皮尔逊Ⅲ型概率密度曲线图

4.2.2 皮尔逊Ⅲ型分布

英国生物学家皮尔逊通过很多资料的分析研究，提出一种概括性的曲线族，包括13种分布曲线，其中第Ⅲ型曲线被引入水文计算中，成为当前水文计算中常用的频率曲线。

皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图4.3），数学上称为伽玛分布，其概率密度函数为

式中：Γ（α）为α的伽玛函数；α、β、a₀为分别为皮尔逊Ⅲ型分布的形状，尺度和位置参数，α>0，β>0。

显然，α、β、a₀确定以后，该密度函数也随之确定。可以推证，这3个参数与总体的3个统计参数EX、C_v、C_s具有下列关系：

皮尔逊Ⅲ型密度曲线的形状主要决定于参数C_s（或α），从图4.4可以区分为以下4种形状：

（1） 当0<α<1，即2<C_s<∞时，密度曲线呈乙形，以x轴和x=b直线为渐近线，如图4.4（a）所示。

（2） 当α=1，即C_s=2时。密度曲线退化为指数曲线，仍呈乙形，但左端截止在曲线起点，右端仍伸到无限，如图4.4（b）所示。

（3） 当1＜α＜2，即＜C_s＜2时，密度曲线呈铃形。左端截止在曲线起点，且在该处与直线x=b相切，右端无限，如图4.4 （c）所示。

（4） 当α＞2，即C_s＜时，密度曲线呈铃形，起点处曲线与x轴相切，右端无限，如图4.4 （d）所示。

以上各种形状的曲线都是对正偏而言的。

图4.4 皮尔逊Ⅲ型密度曲线形状变化图

(a)0＜α＜1;(b)α=1;(c)1＜α＜2;(d)α＞2

水文计算中，一般需求出指定频率P所对应的随机变量x_p，这要通过对密度曲线进行积分，求出等于或大于x_p的累积频率P值，即

直接由式（4.16）计算P值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，根据拟定的C_s值进行积分，并将成果制成专用表格，从而使计算工作大大简化。

令

则有

φ是标准化变量，称为离均系数，φ的均值为零，标准差为1。这样经标准化变换后，将式（4.18）、式（4.19）代入式（4.16），简化后可得

式（4.20）中被积函数只含有一个待定参数C_s，其他两个参数EX和C_v都包括在φ中，因而只要假定一个C_s值，便可从式（4.20）通过积分求出P与φ之间的关系。

在进行频率计算时，由样本估计出的C_s值，查φ值表得出不同P的φ_p值，然后利用估计出的、C_v值，通过式 （4.18）即可求出与各种P相应的x_p值，从而可绘出频率曲线。如何求得皮尔逊Ⅲ型分布曲线的参数、C_v和C_s，是下面讨论的参数估计问题。