2.3　静力学公理

静力学是研究物体在力作用下处于平衡状态的规律的一门科学。

静力学公理是人们在长期的生产和生活实践中，经过反复观察和实验总结出来的普遍规律。它阐述了力的一些基本性质，是静力学理论的基础，它不需证明而被人们所公认。

2.3.1　二力平衡公理

公理：一刚体在两个力作用下，处于平衡状态，其必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，作用在同一条直线上，如图2.2所示。

2.3.2　加减平衡力系公理

公理：在作用于刚体上的任意力系中，加上或减掉一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。

推论Ⅰ：力的可传性原理

作用在刚体上某点的力，可沿其作用线任意滑移至刚体上的任意一点，而不改变它对刚体的作用效应。

证明：设力F作用在物体的A点，如图2.3（a）所示。根据加减平衡力系公理，可在力的作用线上任取一点B，加上等值、反向、共线的F1和F2两个力，并且使F2＝＝F1＝F，如图2.3（b）所示。在图2.3（b）中，F和F1是一个平衡力系，故可去掉，于是只剩下作用在B点的力F2，如图2.3（c）所示。又因为力F2与原力F等效，这就相当于在同一刚体内把作用于A点的力F沿其作用线滑移到了B点。

力的可传性原理告诉我们，力对刚体的效应与力的作用点在作用线上的位置无关。因此，力的三要素可改为：力的大小、方向和作用线。

2.3.3　平行四边形法则（公理）

公理：作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，其合力作用线通过该点，合力的大小和方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的由该点出发的对角线表示。

如图2.4（a）所示，F1、F2为作用于物体上A点的两个力，以F1和F2为邻边作平行四边形ABCD，其对角线AC表示两共点力F1与F2的合力R。

这个公理说明力的合成遵循矢量加法，只有当两力共线时，才能用代数加法。由于平行四边形对应边相等，则力的平行四边形法则还可简化为力的三角形法则，如图2.4（b）所示。力三角形的两边由两分力首尾相接组成，第三边即为合力，它由第一个分力的起点指向第二个分力的终点，即合力的作用点仍在两分力的交点处。

应当指出：力的平行四边形法则既是两个共点力的合成法则，又是力的分解法则。但将一个力按此法则进行分解时，若无条件限制，则有无穷多个解。因为由一条对角线可作出无穷多个平行四边形，如图2.5（a）所示。也就是说，合力的分力有无穷多个，分力的合力只有一个。

要将一个力分解为两个力，必须给予附加条件，通常是将一个力分解为方向已知的两个分力。

设有一作用于A点的力R，如图2.5（b）所示，现将此力沿直线AK和AL方向分解，应用力的平行四边形法则，过R的终点B作两直线分别平行于AK和AL，得交点C和D，则F1和F2即为所求分力。

为了计算方便，在工程实际中，常将一个力R沿水平和铅垂方向如图2.5（c）所示x、y方向进行分解，得出互相垂直的两个分力Fx和Fy。这样可用简单的三角函数关系求得每个分力大小为

式中：α为R和x轴之间的夹角。

力的平行四边形法则是力系简化的依据之一。

推论Ⅱ：三力平衡汇交定理

一刚体受三个共面不平行的力作用而处于平衡时，则这三力的作用线必汇交于一点。

证明：设有共面不平行的三个力F1、F2、F3分别作用在同一刚体上的A1、A2、A3三点而使刚体平衡，如图2.6所示。

（1）根据力的可传性原理，将力F1、F2滑移到该两力作用线的交点O点。

（2）再用力的平行四边形法则将力F1、F2合成为合力R12，R12也作用在O点。

（3）因为F1、F2、F3三力平衡，所以R12应与力F3平衡。又由二力平衡公理可知，力F3和R12一定是大小相等、方向相反、且作用在同一直线上，这就是说，力F3必通过力F1、F2的交点O，即证明F1、F2、F3三力的作用线必汇于一点。

三力平衡汇交定理常用来确定物体在共面不平行的三个力作用下平衡时其中一个未知力的作用线。

2.3.4　作用和反作用公理

公理：两物体间相互作用的力，总是大小相等、方向相反，且沿同一直线，并分别作用在两个物体上。

这个公理说明了两物体间相互作用力的关系。力总是成对出现的，有作用力就必有反作用力，且总是同时产生又同时消失。

如图2.7（a）中物体A放置在物体B上，N1是物体A对物体B的作用力，作用在物体B上，N是物体B对物体A的反作用力，作用在物体A上。N1和N是作用力与反作用力的关系，即大小相等N1＝N，方向相反，沿同一直线KL，如图2.7（b）所示。

注意，二力平衡公理与作用和反作用公理是有区别的。区别在于：二力平衡公理中的二力是作用在同一物体上，而作用和反作用公理中的二力是分别作用在两个不同的物体上。