1.2 权益成本的理论模型

权益成本有两种计算方法：一种方法是采用资产定价模型，包括均衡定价模型和套利定价模型，均衡定价模型被称为资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model），简称CAPM，套利定价模型可简称为APT（Arbitrary Pricing Theory）。另一种方法是采用债券收益率加上风险溢价。

1.2.1 CAPM

机构投资者在进行投资的时候，会买入或者卖空很多资产，如股票、债券等，这些不同资产的组合被称为投资组合。调整投资组合中各种资产的权重被称为资产配置，Markowitz认为资产配置的目的就是使得投资组合成为有效的，即该组合在既定收益率期望水平下风险最低或者在既定风险要求水平下收益率的期望值最高。如何确定有效投资组合中的各种资产的权重成为投资的目的，这就涉及两个问题：如何来衡量投资组合收益率的期望值和投资组合的风险。

首先考虑单个资产的收益率，我们认为单个资产的收益率是一个随机变量，即为一个无法预测其未来时刻准确大小的数值。但是，我们认为该收益率大小和未来的事件或者是未来的状态有关，举个简单的例子来说。

已知某股票第二天的收益率与其第二天公布的财务报表的好坏有如下关系：

假设不存在消息泄漏，每一个投资者都不知道第二天财务报表公布的情况，但是可以得到公布情况的各种不同结果的概率，以及在各种不同结果下的股票收益率情况。

概率论中用期望值来描述随机变量的平均水平，定义如下：

同样，上面的例子中股票的第二天的期望收益率等于：

股票的风险可以用股票收益率的不确定性来描述，这种不确定性表现在股票收益率的波动性上，在概率论中用随机变量偏离其期望值的平均程度来描述波动性，即：

我们称之为随机变量R的方差。

为了使得波动性的单位和随机变量的单位相同，用方差开根号得到标准差：

在实际应用中，我们采用历史收益率的算术平均值来估计期望收益率和计算收益率的标准差。

那么如果投资者持有多种资产，如何求投资组合的期望收益率和风险呢？

根据概率论知识，可以得到：投资组合的期望收益率等于其中各个资产按照价值权重加权的期望收益率之和。

其中：E（Ri）为第i种资产的期望收益率，wi为第i种资产的价值占总资产价值的比重。

投资组合的方差的计算公式为：

其中：COV（Ri, Rj）=

当i和j 不相等的时候COV（Ri, Rj）称为随机变量Ri和Rj 的协方差，用来表示两个随机变量变动之间的同向性。当股票收益率的协方差大于零时，说明其收益率变动的方向相同；当股票收益率的协方差小于零时，说明其收益率变动的方向相反。

为了说明问题方便，我们引入相关系数的概念：

相关系数表示两个随机变量之间的线性相关关系，其大小在±1之间，符号和协方差相同。

显然，投资组合的方差等于各个资产的方差之和（加权）加上资产之间的协方差之和（加权）：

可以证明，如果原来有投资组合A，现在加入一种新的资产B，当A和B的相关系数不等于1时，在保持新旧组合期望收益率不变的情况下，总可以使得新投资组合的方差比A要小，即风险会减少，这就说明了投资组合可以分散风险。由于两种股票的收益率变动不可能完全一致，所以投资组合总可以在期望收益率不变的情况下降低风险。通过构建投资组合得以分散的风险称为非系统风险，而无法分散的风险就称为系统风险（即风险不可能无限制地减少），投资组合总风险就等于非系统风险加上系统风险。

股票的非系统风险与其个体特征有关系，而系统风险是由于整个市场的风险作用于所有股票而产生的，所以无法采用构建投资组合的方法来分散。当投资组合中的股票数目越来越多时，投资组合的总风险将趋向于系统风险（如图1-1所示）。

图1-1 资产种类与总风险

投资组合中各个资产的权重大小的不同将会影响到投资组合的期望收益率和方差，那么如何确定各个资产权重的大小使得在既定的期望收益率下组合的方差最小就成了一个关键的问题。通过建立数学模型可以知道这是一个二次最优规划问题，此处不进行详细的数学推导。给定不同的期望收益率，可以得到不同的最优解（表现为投资组合中资产不同的权重），这样就得到以下称之为投资组合有效前沿的曲线（如图1-2所示）。

图1-2 投资组合有效前沿

图1-2有以下特点：

（1）投资组合中的单个资产都位于有效前沿的右侧；

（2）投资可行集中，在任意给定的期望收益率水平下，有效前沿上的投资组合的风险最小；

（3）随着期望收益率水平的增加，投资组合的风险增加；

（4）在有效前沿的左侧部分，无法利用现有市场上的资产来获得。

用一句话来讲：有效前沿就是能够达到的最优投资组合的集合。对于不同的投资者，他们如何在有效前沿上选择满足自己要求的投资组合呢？

在本章开头提到了风险回避的概念，作为风险回避类型的投资者承受的风险越高其要求的期望收益率越高，也就是说，投资者进行投资的时候其效用是随资产的期望收益率增加而增加，随资产风险的增加而减少。可以用图1-3来表示。

在同一条曲线上投资者在曲线上各个点的效用都是相等的，但是不同曲线的效用不相同，显然可以看出有：U1＞U2＞U3＞U4。

图1-3 投资者效用函数无差异曲线

图1-4 投资者的最优投资组合

将投资者的效用函数无差异曲线和投资组合有效前沿结合起来，曲线之间的切点就是使得投资者效用最大的投资组合，如图1-4所示。

上述讨论中我们没有涉及无风险资产的存在，在这里无风险的意义就是方差等于零，无风险资产的收益率被称为无风险利率。

现在我们将无风险资产加入投资组合中，而且假定投资者可以以无风险利率无限制地借贷资金，所有投资者对资产的收益率、方差和协方差的期望值相同，没有税收和交易成本。值得注意的是，以无风险利率借款实际上是卖空无风险资产，在投资组合里无风险资产的权重取负数；以无风险利率贷款给别人相当于买入无风险资产，在投资组合里无风险资产的权重取正数。

无风险资产的引入使得投资组合有效前沿发生了变化，如图1-5所示。

图1-5 资本市场线

新的有效前沿变成了一条直线AMB，这条直线和原来的有效前沿相切，Y轴上的截距为Rf，切点M 称为市场组合。可以看出，有效前沿上的每一个投资组合都可以用无风险资产和市场组合线性组合而成（简单来说就是两点可以确定一条直线），这意味着一个重要的原理：投资者不需要考虑资产分配问题，只需要确定在无风险资产和市场组合之间的投资比率就可以得到使得自己的期望效用最大的组合。

直线AM B被称为资本市场线（Capital Market Line, CML），其方程为：

E（RP）-Rf表示投资组合的超额收益率，被称为市场组合单位风险的超额收益率，也被称为风险的价格。

从前面的内容可以知道，超额收益率是补偿投资者所承担的风险的，超额收益率是投资组合的风险溢价，那么上面的公式可以写成：

注意，此处的风险是指组合的总风险σp。

资本市场线表示：有效投资组合的风险溢价与其风险成正比。但是，资本市场线只是说明了有效投资组合的风险和收益率之间的关系，对于无效的投资组合和单个证券没有作说明。

我们知道，无效投资组合和单个证券的风险构成除了系统风险之外，还有一部分则是可以在有效组合中得到分散的非系统风险。正如我们在本章开头部分所提到的那样，投资者只愿意为系统风险支付风险溢价，所以对于无效投资组合和单个证券来讲，其风险溢价是与其系统风险成正比的，而与其包含的非系统风险无关。这就是资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）所描述的内容。

CAPM指出，股票的期望收益率超过无风险收益率的那部分（即风险溢价）与股票中的不可分散的风险（称为系统风险）正相关。用公式来表示为：

其中：

E（Ri）表示股票i的期望收益率；

Rf表示无风险收益率；

E（RM）表示市场组合（仅包含股票）的期望收益率；

βi表示股票的系统风险，用股票i的收益率随市场组合收益率变动而变动的敏感程度来衡量，等于[COV（Ri, RM）为股票收益率和市场组合收益率的协方差，Var（RM）指市场组合的方差，表示市场组合的风险]。

E（RM）-Rf称为股票市场风险溢价，表示对股票市场的系统风险的补偿，由于市场组合本身的β值为1，所以E（RM）-Rf也可以看作风险β的单位风险溢价。这样上面的式子就可以这样来理解：

股票的风险溢价=风险×单位风险溢价

单位风险溢价（市场风险溢价）不是由股票确定的，它的大小取决于所有投资者的风险态度、宏观经济指标等一些外生变量，在同一时期里对所有股票都一样。不同股票的风险溢价的不同就来源于它们所蕴含的系统风险的不同。知道了股票的系统风险和单位风险溢价就可以求出股票的风险溢价，从而得到股票的期望收益率，期望收益率即可以作为权益类证券定价中的权益成本。

根据CAPM，我们得到如图1-6所示的证券市场线（Security Market Line, SML）。

SML表示证券的期望收益率和测量系统风险的β系数成正比，在市场达到均衡时，所有的证券和组合（有效和无效）都落在SML线上。值得注意的是：CML线和SML线衡量风险的方式是不同的，CML线用组合的标准差（总风险）来衡量风险，而SML线则用系统风险β来衡量风险。

图1-6 证券市场线

值得我们注意的是，在推导CAPM过程中我们所用到的假设为：

（1）投资者是风险回避的，追求期望效用最大；

（2）投资者根据收益率的期望值和方差来选择投资组合；

（3）所有投资者处于同一单期投资期；

（4）投资者可以以无风险利率无限制地进行借贷；

（5）投资者对于证券收益率的均值、方差和协方差有同样的期望值；

（6）没有税收和交易成本。

从β的计算过程可以知道，市场组合的β等于1。当证券的β大于1时，其期望收益率大于市场组合收益率，称为“进取型”的证券；当证券的β小于1时，其期望收益率小于市场组合收益率，称为“防御型”的证券（如图1-7所示）。

图1-7 资本资产定价模型

图1-8 资本资产定价模型与证券的价值

CAPM可以用来判断证券的价格是否被高估或者低估。图1-8说明了如何判断证券价格的高估或者低估。

证券A位于SML线的上方，其期望收益率大于系统风险对应的期望收益率，所以其价值被低估，应该买入；

证券B位于SML线上，其期望收益率等于系统风险对应的期望收益率，此时既可以卖出也可以买入，或者持有；

证券C位于SML线的下方，其期望收益率小于系统风险对应的期望收益率，所以其价值被高估，应该卖出。

例1-1：假设市场风险溢价为5%，无风险利率为2%，试用CAPM求当β=0.8或1.5时某上市公司的权益成本。

应用CAPM的公式，可以得到：

β=0.8时，股票的权益成本=2%+0.8×5%=6%；

β=1.5时，股票的权益成本=2%+1.5×5%=9.5%。

由CAPM的公式看到，在应用的时候要注意两个问题：一是如何估计无风险利率，二是如何计算市场风险溢价。

通常采用信用风险为零的国债的到期收益率来估计无风险利率，那么是选择短期债券、中期债券还是长期债券呢？在固定收益证券定价理论中我们知道，久期可以用来衡量债券的利率风险，如果两种债券的久期相等，那么其利率风险也大致相等（因为久期只考虑债券价格对于利率的一阶导数）。其他的风险相同，久期越大，债券的收益率越高。普通股是没有到期日的，所以可以看作久期是无穷大。因此，为了能够合理地估计与股票相对应的无风险利率，采用长期债券的到期收益率更加合适。

估计市场风险溢价有两种方法：一种是基于股票市场和国债的历史收益率的平均差距；另一种是用预期收益率数据。在股票市场的历史收益率数据足够长的情况下，一般采用第一种方法；而对于那些新兴的股票市场来说，由于缺少足够的历史收益率数据，所以采用第二种方法。在采用历史收益率数据的时候，存在一个收益率的计算方法问题，我们知道在计算金融资产的收益率时有算术平均收益率和几何平均收益率两种计算方法，所谓算术平均收益率是指N 年的平均收益率等于N 年中各年的年收益率的算术平均值，用公式来表示为：

几何平均收益率是指N 年中各年的年收益率的几何平均值，用公式表示为：

显然，几何平均收益率考虑的是复利收益率，反映了长期的真实的投资收益率，更能准确地度量多期的平均收益率，而算术平均收益率则可以用来度量单期的平均收益率。这就产生了矛盾：CAPM是单期模型，意味着模型采用算术平均收益率更合适。但是，股票投资一般的时间都比较长，显然采用几何平均收益率更能反映投资期限内的实际收益率。实证研究表明，采用几何平均收益率估计的风险溢价比采用算术平均收益率估计的风险溢价小，而且从统计意义上来说是显著的。在实际应用中采用算术平均收益率和几何平均收益率并没有定论，本文采用几何平均收益率来计算风险溢价。

股票的风险溢价一般是采用历史股票市场指数收益率来估计的，这种估计会产生一种“幸存者偏差”（Survivorship Bias）：由于每年都有一些表现不好的公司从市场指数中被剔除，这就使得股票的风险溢价被高估。而且在估计股票风险溢价的时候，为了保证数据的精确度，采用了很长时间的历史数据。从实证的结果来看，股票的风险溢价是随着时间变化的，从定价的观点来看，很长一段时间以前的历史收益率数据对于现在的市场并不重要。为了弥补采用历史收益率的缺点，可以采用基于期望数据的风险溢价估计方法。这种估计方法最常用的是Gordon增长模型（GGM）风险溢价估计法：

GGM股票风险溢价估计=（基于预测的红利的指数红利收益率+对应的长期利润增长率）-目前的长期国债收益率

与其他方法一样，GGM方法也会有一定的局限性，因为风险溢价的不同估计方法可能得到不同的结果本身就是对传统定价方法的一种巨大挑战。

1.2.2 APT

CAPM方法的应用很广泛，是估计权益证券成本的一种重要的方法。它的主要优点在于其简单性和容易理解，β值可以很容易地估计出来。但是CAPM的β不能完全反映证券中的不可分散风险，在对单个股票收益率和市场收益率进行回归的时候发现，决定系数R2的大小从2%到40%不等，大多数位于10%以下。这就意味着还有除了β风险以外的其他风险因子，股票的收益率是多个风险因子的风险溢价的总和。基于上述的想法，罗斯提出了一种多因子模型，也称为套利定价理论（APT）模型，具体的模型描述如下：

E（Ri）=Rf+（风险溢价）1+（风险溢价）2+…+（风险溢价）K

其中：风险溢价=因子系数×因子风险溢价。因子系数是指在股票超额收益率对于风险因子的敏感系数，因子风险溢价是指该风险因子对应的风险溢价。

APT模型与CAPM的假设条件不一样，下面的假设条件APT中没有用到：

（1）投资者为单一投资期；

（2）不存在税收；

（3）投资者能以无风险利率无限制地进行借贷；

（4）投资者在期望收益率和方差的基础上选择投资组合。

APT假设证券的期望收益率和一组风险因子线性相关，当模型中只有市场因子的时候，APT模型就变成了CAPM的形式，市场因子有可能是或者不是APT中的风险因子。但是，APT并没有说明风险因子的数量和类型，只能进行主观的推测，于是有不同类型的多因子模型产生。

一种特殊的APT模型和公司特有的因素有关，比如Fama-French（1993）提出的三因素模型，三个风险因素分别为：

●RMRF，价值权重股票指数收益率与1个月国债的收益率之差；

●SMB，规模因子，为小市值公司的股票平均收益率减去大市值公司的股票平均收益率；

● HML，高账面价值/市场价值比的公司的股票平均收益率减去低账面价值/市场价值比的公司的股票平均收益率。

另外一种常用的APT模型考虑了宏观经济因素，有关Burmeister, Roll和Ross（1994）提出的BIRR模型，该模型采用了影响美国股票平均收益率的5个宏观经济变量：

● 信心风险因子，20年期内公司股票的收益率和20年期政府债券的收益率之差的非正常变化。当投资者的信心很强的时候，对于信心风险的承受程度就会很强，要求的风险溢价就比较小。

● 时间风险因子，20年期的政府债券的收益率和30天国债的收益率之差的非正常变化。这个因子反映了投资者进行长期投资的意愿。

● 通货膨胀风险因子，通货膨胀率的非正常变化，几乎所有的股票的收益率都与这个因子呈负相关，通货膨胀率正的非正常变化将会导致收益率的下降。

● 商业周期风险因子，商业活动的非正常变化。

●市场时机风险因子，S&P500指数的收益率中无法被上述4个因子解释的部分，几乎所有的股票都和该因子正相关。

采用CAPM和APT方法估计股票的成本时可能会有以下三个方面的误差：

● 模型选择误差，即在进行估计时无法确定采用哪种模型更合适；

● 输入变量误差，例如，股票的风险溢价和无风险利率的估计会产生这种误差；

● 风险因子系数误差，在估计风险因子系数的时候会产生的误差，比如说在估计β因子的时候采用回归的方法，求出的只是β的估计。

如果上市公司同时公开发行股票和债券，那么有一种比较有用的替代方法，即采用债券的收益率加上风险溢价：

权益成本=公司长期债券的到期收益率+风险溢价

债券的到期收益反映了对应公司的违约风险和时间风险，风险溢价则是由于股票比债券风险更大而产生的收益补偿，在美国证券市场上该风险溢价一般为3%—4%。

对于公开上市的公司我们可以得到股票价格数据或者债券价格数据，进而可以采用上面的两种方法来估计权益成本，但是对于那些没有上市的公司，无法得到其股票价格数据，如何来估计其权益成本呢？我们知道，采用CAPM和APT来估计权益成本的方法其核心思想就是用无风险利率加上风险溢价，对于没有上市的公司同样可以采用这种思路，只不过在估计某些风险溢价的时候使用的是一种构造性方法：不是采用一些标准的数学模型，而是主观地去判断这些风险溢价的大小。比如说：某公司的权益成本等于当前的无风险利率加上股票风险溢价，再加上或者减去主观判断的公司特有的风险调整项。其实，前面我们用债券的收益率加上风险溢价来估计那些公开发行债券的公司的权益成本就是一种构造性方法。

CAPM方法的可靠性在于其估计的显著程度或者回归的解释力，一般用t统计量和R 2来衡量，有时候CAPM并不能得到很好的估计结果；同样，公司没有公开发行的债券的时候无法采用债券收益率加上风险溢价方法；APT方法和上述构造性方法是两种有用的替代方法。

本章小结

在对于任何一种资产进行定价的时候，最重要的两个因素就是该资产产生的未来现金流和贴现率，值得注意的是这个贴现率是和未来现金流的风险、时间价值相对应的，用公式表示就是：贴现率=时间价值+风险溢价。资金的时间价值可以用无风险利率，那么贴现率又可以表示为：贴现率=无风险利率+风险溢价。这正是CAPM和APT的一般形式，所不同的是风险溢价的结构不同。从投资者角度来看，贴现率表示的是其投资的最小必要收益率；而从融资者角度来看，贴现率表示的就是融资成本，如果是采用权益融资，就是权益成本。