2.2　问题2

例2-2　有9个外形完全一样的铜球，其中有一个球的重量比其他球略轻。问称量几次就一定能够把它找出来？

解：

这次，我们设计一架有3个托盘的特殊“天平”，它不是用于称重，而是区分3个托盘上物体的重量，分出最重，次重，轻。

把9个球均分成3组，在此天平上称第1次，确定轻球在3组中之一；再将该组称一次，确定轻球在3个中之一，即找出了那个轻的球。

可以看出，在除一个轻球外所有其他球的重量一致，以及每次都均分为3组的条件下，只用一架两托盘的天平，同样能实现称量方案。

分析：

如果轻球在3个不同位置中出现的概率都相同（各为1/3），我们把从3个位置中确定其中1个的不确定性程度取作一个（新）单位。因为用这个特殊的天平，称一次就可以确定轻球在哪一个位置，消除一个（新）单位的不确定性。如果轻球在9个不同位置中出现的概率都相同（各为1/9），我们可以用这个天平称2次，就找出轻球。也就是说，问题中包含的不确定性为log3 9=2（新单位）。

思考：

从上面两个例子，我们似乎可以提出衡量信息不确定性程度的如下度量：对于共有M种可能状态的事件，假如每种状态出现的概率相同，即P=1/M，其包含的不确定性（或称为熵）为（单位）。

这种度量的结果与选取的单位有关，如果采用“普通的天平”，计算时对数的底为2；如果采用上述“特殊的天平”，计算时对数的底为3。我们也可以将对数的底取为其他数，单位也就不同，度量的结果将相差一个常量的倍数。

（如果以2为对数的底，一个单位通称为1“比特”，指（相同概率的）2中取1的不确定性。如果以3为对数的底，一个单位指（相同概率的）3中取1的不确定性。）

当然，上面的认证还有些粗糙。第一，只针对了均匀分布的事件来讨论信息的不确定性，第二，信息中包含的状态数M只取2n，（n=1，2，…）或3n，（n=1，2，…）这种特别的值。仅仅在这两个比较特殊的情况下，采用log2M（或log3M）作为度量可以看出明显的合理性。

由于可认为不确定性度量（熵）是状态数M的连续函数，对于一般的正数M，我们猜测采用log2M作为度量也许仍然是不错的选择。

但如果事件出现的概率是任意的概率分布，而不是均匀分布的情况，怎样度量事件的不确定性呢？我们再讨论下面的问题3。