1.2 研究现状

1.2.1 河道冲淤量计算模式综述

1.2.1.1 断面地形法

断面地形法计算断面面积、相邻断面空间及若干断面控制的河段的容积、历次测量期间的冲淤量等，用以描述河道、水库的定量演变情况。断面地形法主要是利用河道横断面，测量断面形态，将相邻断面间的几何图形近似为台体或截锥体，确定河段各级计算水位，通过比较同一水位下相邻断面间容积的差异，得出两测次间相邻断面河道泥沙冲淤的体积，累积各断面间河道泥沙冲淤体积来反映不同高程河床冲淤情况。计算水位可分为枯水、低水、平滩和高水，可由水文站水位流量关系沿程插值确定各断面计算水位，也可由沿程实测水面线推算。断面地形法具体步骤如下：

（1）根据沿程水位站实测水位确定计算水位，为了反映河道冲淤量沿河床不同高程分布，可确定不同特征水位，如主槽、平滩、高水河槽等，利用基面差将计算水位换算成断面地形高程基面。

（2）整理断面数据，计算确定的计算水位下各断面面积A_i。断面面积计算一般采用计算水位下各实测点间面积累加法，测点间面积采用三角形和梯形法计算。

（3）确定相邻断面间距离ΔL_i。可根据实测地形图或断面布置图，采用河中心线或河道深泓线方法量算。对于顺直河段，两种方法结果相近，对于弯曲河段、分汊河段和蜿蜒型河道二者差异较大。

（4）采用梯形法或锥体法计算相邻断面间槽蓄量V_i。

梯形法计算为

锥体法计算为

式中：V_i为第i与第i+1横断面之间槽蓄量；A_i为第i个横断面面积；ΔL_i为第i与第i+1横断面之间间距。

（5）相邻两测次间相邻断面间槽蓄量差值即为相邻断面间冲淤量，整个河段累积值即河道冲淤量。不同计算水位下的冲淤量即为不同河床高程冲淤量分布。

梯形法计算为

锥体法计算为

式中：V为第1～第n个横断面之间槽蓄量，即河段槽蓄量。

1.2.1.2 网格地形法

利用实测河道地形图，提取实测点三维数据（x，y，z）或直接用GPS、全站仪、野外测量等提取实测地形三维数据，建立河道DEM数字高程模型，给定计算水位计算河道槽蓄量，两测次槽蓄量的差值即为河道冲淤量。

（1）根据实测成果整理实测点三维数据（x，y，z），根据地形图测图比例尺大小或测点间距等确定适宜的网格尺寸，通过差值计算网格节点三维数据（x，y，z）建立DEM数字高程模型。

（2）给定计算水位，计算每个网格水体体积，各网格水体体积累加即河段槽蓄量。

（3）前后两测次槽蓄量的差值及即河道冲淤量。

1.2.1.3 输沙量平衡法

输沙量平衡法主要是根据河段上下游进出口水文测站实测的输沙量和区间加入、引出沙量，根据物质守恒定律，计算出输入沙量和输出沙量的差值，即为该河段的冲淤量。水文测站观测的资料一般有水位、流量、含沙量、输沙率等。计算公式为

式中：W₁，W₂分别为进出口站输沙量；Q为流量；C_S为断面平均含沙量；T为时间；S₃为区间加入的泥沙量；S₄为区间引沙量（包括灌溉和取水引沙、分洪引沙、河道采砂等）；W_s为冲淤量。

1.2.2 河道冲淤量计算模式研究进展

国内外较多学者对断面地形法和输沙量法误差进行了研究。国内外很多学者对河道水库泥沙冲淤、河道泥沙输移规律和计算方法等进行了研究^［2-21］。牛占^［22］从理论上对断面地形法计算方法理论进行了深入研究，以河道水库容积及冲淤量测算为目标，提出了断面布设要求、容积等效概化断面间距的推算方法，探讨了容积及冲淤量计算公式的适用性，导出了比较实用的断面间宽、平均深呈线性变化情况的容积计算公式，还根据断面测量新技术应用过程及冲淤计算中提出的实际问题，推导了坐标法测量测点偏离断面情况下起点距的归正计算公式。

申冠卿^［23］等对黄河下游断面法与沙量法冲淤计算成果进行比较，认为由于黄河下游各站实测输沙率资料普遍存在漏测现象及部分测次单断沙关系代表性差等原因，造成断面法与沙量平衡法计算冲淤量在一些河段存在着定量甚至定性上的差别，有必要对输沙率资料进行修正。修正后的输沙率资料基本能反映黄河下游各河段的实际冲淤情况。程龙渊^［24］等用实测断面地形法、沙量平衡法和同流量水位法计算了兰州—利津相邻水文站间的时段平均冲淤厚度，结果显示：沙平衡法冲淤量计算公式的缺陷很难克服；实测断面地形法可信度最高，悬沙平衡法可信度最低，同流量水位法具有一定的可信度；用同流量水位差反映主河槽的冲淤变化，定性无误，可信度较高；建议在无实测断面法冲淤量的河段，用同流量水位法计算区段主河槽冲淤厚度。

程龙渊^［25］等对沙量平衡法计算冲淤量的不确定度和黄河下游断面法、沙量平衡法冲淤量精度进行了研究，认为黄河下游河段冲淤量是一个独立的项目，应采用实测断面法或地形法来解决。简单地用沙量平衡法计算冲刷量，常常会带来较大误差。就已有资料而言，实测断面法冲淤量较为可靠，但还应增加断面密度，提高准确度。文献［26］等还认为未实测河道冲淤变化河段，用同流量水位法计算河段主河槽平均冲淤厚度，虽然存在站点少、代表性差问题，一般说定性合理，且对研究平滩流量过洪能力等具有实用价值。不分析改正水文站沙量测验误差，简单地用沙量平衡法计算冲淤量很可能不符合实际。

张留柱^［27］等对输沙量平衡法计算河道冲淤量的误差及黄河下游断面地形法和沙量平衡法冲淤量精度进行了分析，提出了计算河道冲淤量中误差和相对误差的表达式。认为输沙量平衡法的计算精度主要取决于输沙量的测验精度、河段引沙量的计算精度和河段冲淤量的大小；当计算河段冲淤量较小时，计算冲淤量的中误差可能会大于实际的冲淤量；在使用河道冲淤量进行分析研究时，首先要研究其观测误差的大小，否则会得出错误的结论；要提高冲淤量的计算精度，就要改善输沙量和引沙量的测验条件，减少其测验误差。李义天^［28］等采用输沙量平衡法和地形法计算了螺山汉口河段淤积量并进行了比较，认为输沙量平衡法能较好地反映整个河段的综合冲淤情况，而地形法体现的是不同计算水位下河槽的冲淤量。如果考虑到各自误差和漫滩淤积、江心洲淤积等情况，这两种方法计算的结果是相近的。

董耀华^［29］以长江中游荆江新厂—监利河段实测水沙与河道地形资料为基础，对比分析了输沙量平衡法与地形法的差异、适用性与关键影响系数。认为影响输沙量平衡法和地形法的关键参系数分别为为床沙质冲泻质分界粒径、悬沙级配和平滩水位与泥沙干密度；在河道冲淤基本平衡和造床条件下，合理确定床沙质冲泻质分界粒径（输沙量法）和平滩水位（地形法），输沙量法与地形法估算的河道冲淤量可以一致或接近；偏离冲淤平衡与造床条件越远，两种方法的估算结果差异越大。

王小艳等^［30］分析了潼关至三门峡段输沙率法与断面法偏离的原因，除潼关站输沙率“漏测”外，还受库区塌岸测量时间等因紊的影响。建议加强测验精度，同时还应对断面法不能控制的塌岸汛后做调查，以修正断面法所计算的冲淤量。

苏运启^［31］等通过弯道段和浅滩段不同冲淤特性的分析，提出了断面地形法在弯道段及过渡段布设数量相同的实测大断面、尽可能避开局部冲刷坑的影响、尽可能加密测验断面等断面布设原则。

舒彩文^［32］对三峡水库蓄水后库区冲淤量计算涉及的直接测量和间接测量物理量的误差进行分析，提出了控制和减弱误差的途径；探讨了临底多点法测验与常规法测验的差异；对水库淤积物干容重观测资料进行分析；研究了干容重取值对断面法计算冲淤量的影响；提出了库区冲淤量化计算偏差修补技术；最后运用该技术对三峡库区冲淤量的合理性进行了探讨。

韩其为^［33］通过理论分析认为，不同粒径的粗细颗粒和不同测验方法误差变化很大，对于水库下游冲刷的河道必须改进测验方法，并根据水文局2006—2007年沙市和监利水文断面临底悬沙测验试验资料进行分析，认为二点法和三点法（1：1：1）的误差分别为7.4%和26.7%。通过2011年沙市、监利两站临底悬沙试验，长江水利委员会水文局荆江水文水资源勘测局（以下简称荆江局）^［34］得出临底常规法测年输沙量比临底多线多点法施测的年输沙量要小，上述两站全沙年输沙量需要进行一定的改正。

虽然相关单位和学者对河道实测冲淤量计算方法进行了研究，但由于实测资料的局限性、对河道地形测量和泥沙测验方法缺乏深入了解及河道泥沙冲淤复杂性等，尚没有系统、统一的认识。而实测河道泥沙冲淤量的准确对水库调度、河道整治、科学试验等至关重要，是急待解决的问题。

1.2.3 分形理论及其在水科学中的应用

1.2.3.1 分形理论及其发展过程

被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支。它与动力系统的混沌理论交叉结合，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以连续。

分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念由美籍数学家曼德布罗特（B.B.Mandelbort）首先提出^［35］。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长？》的著名论文。1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了像地毯和海绵一样的几何图形。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。

1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结了自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。

1973年，曼德勃罗在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是其创造出来的，表达具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何第一部著作《分形：形状、机遇和维数》。1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合，总结了根据自相似性计算实验维数的方法。

1982年，曼德尔布罗特的新著《自然界的分形几何》出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避免这一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充维数。

1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普罗克西娅（I.Procaccia）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。

1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1982年德金（F.M.Dekking）研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。

随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。分形理论真正发展起来才二十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。

1.2.3.2 分形理论在水科学中的应用

目前，分形理论已广泛地应用于数学、物理、化学、表面科学、生物与医学、材料科学、地震、天文科学、地质和地理等领域的无特征尺度却有自相似性的体系中，以一种更有效、更通用的方式描述众多自然现象复杂的空间变异结构特征。同时，还能提供定量描述从小尺度到大尺度情形下的空间变异，因而成为研究和处理复杂现象强有力的理论工具。

在水科学各相关领域，分形理论亦均有大量应用，主要包括降水（暴雨）时空分布、径流过程分形特征、流域地貌形态及水系河网结构、洪水时空变化、土壤水下渗、河流几何形态及其演变、泥沙颗粒表面形貌等。

1.流域地貌形态及水系、河网结构分形

分形几何理论起源于海岸线测量，所以其在地貌学中的应用非常广泛。流域地貌及水系分形研究为分形理论在水科学研究领域中较为活跃的一个分支。其研究可分为3个主要的方面：水系河网结构或流域地貌的分形特征；建立分形模型，研究分形维数与水系级别、发育程度或流域特征、水流侵蚀等的关系；分形或多重分形的计算方法，包括线分维（D介于1～2之间）及面分维（D介于2～3之间）。

20世纪40年代R.E.Horton发现水系的定量关系，20世纪50年代初A.N.Strahler对流域地貌的定量研究成为当时地理学中的“数量革命”的先导，开创了数量地貌学研究的新阶段。水系具有和谐的等级和空间秩序，其结构特征和数量关系可用 Horton定律进行描述，见图1-1。自从20世纪70年代分形几何学产生以后，地貌学家和数学家便致力于寻求 Horton水系定律和分形思想的内在联系。

图1-1 Horton编码与Strahler编码示意

流域地貌系统水系的分布具有分形结构，并非严格数学意义上的分形，而是具分形特征的自然分形体。水系分维所能代表或隐含的物理或地质意义一直是人们所关注和研究的课题。一般认为，水系分维反映了河道分布的复杂程度或者说水系的发育程度，似乎河网密度愈大水系分维愈高^［36］。水系网结构最基本的是分枝和汇合，具有一定的自相似性，Horton 在研究流域侵蚀发育的定量形态时提出了水系的组成定律^［37］，即Horton 定律。

流域水系维数计算是研究流域分形特性及判断流域分形类型的首要问题，对流域汇流理论的发展具有重要的意义。河流的分形维数，作为河流分形的定量化数据，为流域及地表过程的定量化研究提供了新途径，其作为一种揭示流域地貌发育的定量分析方法已被众多学者用来研究国内的大尺度河流，并取得了较为理想的研究成果。近几十年来一大批水文、地貌学者运用分形理论对流域河网结构进行了研究。

20世纪80年代及90年代初，国内外主要开展了对流域地貌系统的地貌特征量间的统计分形研究^{［38，39］}，这些研究深化了R.E.Horton等以物理学方法对水系的形成及演变的研究。近期，在对河道线状分形及河道平面形态分形研究基础上，开始对水系的河网分形进行研究，并初步探讨了水系分形特征与流域地貌发育过程的关系^{［40，41］}。

朱嘉伟等^［42］首次采用遥感与GIS相结合的方法对黄河下游河道地貌进行了定量的分形分维研究。孙祝友等^［43］以莱州湾东岸分形特征典型的3条代表性河流（黄水河、界河和王河）为例，采用分形方法研究了区域内河流地貌发育状况，并与基于数字高程模型（DEM）提取的流域地貌特征信息进行了对比分析。白玉川等^［44］将河流的形态看作分形结构，计算典型蜿蜒河流的分形维数，并利用该维数较准确地反映大型河流的弯曲和不规则程度。陈彦光等^［45］根据对分形水系的新近认识探讨了吉林省水系结构的自相似规律，认为LaBarbera 和Rosso 等对水系分维的定义不够准确，对给出的公式进行了修正。

朱建刚^［46］从分形维数的计算原理，提出了一种在MATLAB环境下，能够同时计算水系计盒维数和信息维数的方法，改进了现有通过图像分析计算分形维数的不足，为水系分形维数的科学计算提供了新的思路。

沈晓华等^［47］提出了连续叠移长度法，将河道沿着伸展方向依据其特征尺度划分为一系列节点，若干个节点组成一个区间，按区间计算分维数值，并使区间按节点连续重叠偏移，取得全河道分形维数的离散点值。研究表明，用连续叠移长度法获得的长江河道分维数的变化特征与中国陆域的构造演化、地理、地质要素有着密切的关系。

孙桂凯等^［48］针对各种水系分形维数计算方法存在结果不一致的问题，从河网形成及流域差别方面进行分析。根据定量地貌学理论，在提出流域的吸引i因子是由分叉角、链长和“临界距离”组成的直角i角形基础上。结合水系发展有限性和自放射理论澄清不同空间、不同类别的各种维数之间的数理关系，分析影响维数值的因素，就3个流域的DEM 网格数据计算出的各种维数值进行比较，以分析这些因素对各种求维方法的影响。

2.河流几何形态、河道演变及床面形态分形研究

河床几何形态是有序结构，具有自相似性和其他分形特征，利用分形几何有关原理可以方便解释河流曲折程度和表面形态的复杂性。描述这些特性的分数维反映其自相似的程度，还可由统计分形来描述其不规则性及多尺度性，其分维数与河床演变中的河势、河相甚至河型都有关系。河流几何形态通常包括3个方面：即平面形态、横断面形态和深泓纵剖面形态。目前国内外学者一般亦通过对上述3个方面进行分形研究，来探讨河流几何形态的分形特征及其应用价值。

对河床平面形态的研究，始于Nikora等人。Nikora等^［49］研究了地貌齐性河段（MHRS）平面形态（河流中心线）的分形结构，得到河床形态分维D、曲折性及河道宽度和河谷看度的关系。结果表明，D可以作为描述MHRS 平面形态内部结构的一个新的有效参数，此后又与Sapozhnikov、Foufpula、Georgou、Nykane等提出了分析河道自相似性和自仿射物体标度指数的对数关联积分算法^［50］。

Sapozhnikov等^［51］用这一方法研究了3条具有不同标度和水文地貌特征的辫状河道的平面形态，发现尽管3条河流在尺度、比降、河床物质组成方面差异很大，但空间标度数值很接近。

冯平^［52］对弯曲河流的分维数进行了研究，认为分形维数较之弯曲度能较好地刻画河流平面形态的蜿蜒性和不规则性。朱嘉伟等^［53］研究了黄河下游反映河流弯曲程度的分维数与浅滩发育的关系。

宗永臣^［54］以尼洋河为例运用分形算法探讨了河道演变的机理，初步认为：在河道演变分类的基础上，河道演变是河道外部条件和河道内部条件不断协调的结果，即演变主要依靠水力和携沙两个关键因素。具体到尼洋河来说是渐进式演变与急剧式演变相结合的河道演变，其渐进式演变主要由于携沙带来河势演变，其急剧式演变主要是由于水位落差或流量增大引起的纵向和横向演变。

潘威^［55］使用盒维数法测算了渭河泾河口—潼关段近百年来的分维D。1915—1958年是本段河型在相对天然环境下的发展过程，D呈现动态平衡态势，虽有较大波动但整体较为稳定，渭河具有自身调节河型的能力；1969—2000年D急剧上升，虽然1960—1970年泾河口—潼关段大量弯道消失，但渭河下游平面形态不断趋于复杂，其主要原因是三门峡水库引起的溯源淤积和下游筑堤限制了河型发展，河流自身调节河型的能力基本丧失。研究显示分形方法在描述半湿润区平原河流变化过程中，能更好反映河型发展趋势，也更加适合对多源地形资料中河流形态信息的处理。

河道剖面轮廓形态与河床演变学及河流动力学的诸多问题密切相关，目前常采用规则的欧氏几何模型来描述，由于复杂剖面轮廓形态测量中存在尺度相关性和数据有限性的问题，难以全面准确体现其微观粗糙结构。但河道剖面轮廓形态具有自相似性，可用分形理论来描述。Robert.A^［56］和金德生^［57］先后分别对河道断面及深泓纵剖面分维（其分维数介于1～2）进行了研究，认为河道剖面具有分形特征，且河流纵剖面分维数与河流坡降有着密切的关系。河道纵剖面分维值是河道纵剖面复杂程度的一种量度，也是河流纵向消能的一种量度，它具有时空变化，受制于不同河型环境因素的变化。因此可以运用环境因素变化导致D值的变化来分析和预测河流纵比降的变化，预测纵剖面发育特征，也可以作为河型演变趋势分析依据的佐证。

许光祥等^［58］基于有限的数据资料，应用一元分形插值理论对河道纵向剖面轮廓形态进行了分形插值模拟，准确再现了其精细结构，较好地解决了上述尺度相关性和数据有限性问题，为从微观角度开展河床变形、水流阻力等问题的分形研究提供了新途径。

河道床面形态对冲积河流的流动结构、水流阻力及泥沙输运等方面有重要影响，目前关于床面形态的研究都是基于欧氏几何模型，然而复杂床面结构是难以用欧氏几何描述清楚的，传统参数随度量区间和测量尺度的变化将表现出不稳定性，即是与尺度相关的。由于床面是由无数的泥沙颗粒组成的，任何一个局部都与整个床面形态具有相似性，因此，可用描述物体自相似性的分形理论来研究床面形态这一问题，这更能反映粗糙床面的复杂性与不规则性等内禀特性。床面形态细观结构的自相似性可用分形维数来表示。

钟亮^［59］等采用分形插值函数来表征床面粗糙形态，应用二元分形插值理论能较好地重构床面粗糙形态特征，再现其精细的自相似结构。

周银军等^［60］将分形原理、地理信息（GIS）技术与河床演变理论相结合，以河道水下地形图为基础，利用GIS软件建立河床表面数字高程模型，然后以此来计算河床表面的分形维数，并对投影覆盖法进行了改进。河床表面分维数具有时空变异性，能定量反映床面的冲淤起伏程度，与河床演变中的河势和河型都有内在关系。文献［61，62］针对三峡工程蓄水后下游河道河床表面形态的变化，采用分形维数对河床表面形态进行量化，并分析河道冲淤调整特点，对河床表面分形维数的变化特点及物理意义进行探讨。结果表明，河床表面分形维数与河床各个剖面形态之间的关系是整体与部分的关系，其能全面地反映床面形态的复杂程度。

3.水沙过程分形研究

与河床演变关系较为密切的边界条件之一是上游来水来沙条件；来水来沙条件主要与流域的自然因素有关。一定区域（流域）具有独特的自然条件，其来水来沙条件具有与之相适应的特征，因而区域的来水来沙条件具有自相似特性，故可以应用分形原理分析区域的来水来沙特征。水沙过程分形研究因研究对象不同可分为径流过程分维与来沙过程分维。其中，径流分维研究亦分为时间序列的角度建立时间序列模型和计算径流过程的分形维数两个方面。

1997年，日本的Tokinaga等^［63］将分形与小波方法结合起来对具有分形特征的时间过程进行预报。1998年，刘德平^［64］用盒子数法计算了日流量过程线的分形维数，并讨论了分维与形状因子的关系。1999年，丁晶^［65］用盒子数法计算了汛期日流量过程线的分形维数。王利华^［66］、冯平^［67］等就径流长期过程，探讨了水文干旱的分形特征。2002年，杨清书等^［68］应用非线性分形原理方法，计算了西北江干流及西北江网河区流量、含沙量的分形维数，探讨西北江干流来水来沙的分形特征及西北江三角洲的分水分沙规律。2009年，方崇惠等^［69］给出了利用时间尺度容量维和空间尺度相似维划分洪水分期的新途径，其较之经验统计方法划分洪水分期具有定量、客观、简便等优点。刘德平^［70］运用分析理论研究了长江汉口站4个大洪水年份的逐日平均水位、流量过程线形态特征，运用分形理论中的分维数D和引入的形状因子a来描述水文过程线形态特征，并分析了各大洪水年份上述特征的差异。吴佳鹏等^［71］给出了流量过程线的分维估算方法，并运用此理论研究了雅砻江锦屏二级电站猫猫滩闸址处典型年天然月平均流量和人工调节下泄的月平均流量过程线的形态特征。

倪志辉^［72］以长江、黄河实测资料研究结果表明，天然河道含沙量垂线分布呈二阶累计和变维分形现象，分维数可以反映含沙量垂线分布的均匀程度，分维数越大，含沙量垂线分布越均匀；长江含沙量垂线分布的分维数（绝对值） 要小于黄河的分维数，并且同一条河道的不同位置分维数不同；含沙量垂线分布的分维数大小与泥沙粒径、水深等有关。

韩杰等^［73］应用分数阶积分进行时间序列维数估计，以金沙江上游石鼓站42年的流量数据为研究对象，对流量散点序列进行了分形分析，在初步证明洪峰散点序列是一种分形的前提下，将分数阶积分应用到洪水分期上，通过估算的维数确定洪水分期原则并定量划分了洪水的分期时间，论证了洪水分期的合理性，并将分数阶积分估算维数法与容量维数法进行比较。对比传统洪水分期方法，分形维数分期结果较为客观，受经验和人为影响较小。

张之湘等^［74］对长江上游年来沙量过程进行分形特性分析，计算得到长江上游悬沙和推移质年沙量的分形维DH 分别为1.321 和1.378。P.J.Shang^［75］则通过试验发现了泥沙运动随时间序列的分形特征。

从上以上综述可以看出，分形理论在河流动力学相关领域的应用正值方兴未艾，其研究主要可分为3个方面：一是分维、多重分维的计算方法；二是研究对象的分形特征及变化规律；三是明确对象分维的物理意义，并应用分维解决河流动力学的基本问题。目前第二部分的研究成果较多，而第一个方面及最后一个方面的研究则需要加强。即分形算法要完善，同样研究对象的算法最好能统一化、标准化；并需进一步研究各种分维的物理意义及应用价值，使之能用以解决河流动力学中的实际问题。