2.4.3　主成分的导出

根据主成分分析的数学模型的定义，要进行主成分分析，就需要根据原始数据以及模型3个条件的要求，求出主成分系数，以便得到主成分模型。这就是导出主成分所要解决的问题。

（1）根据主成分数学模型的条件①要求主成分之间互不相关，为此主成分之间的协差阵应该是一个对角阵。对于主成分，

F＝AX

（2.49）

其协差阵应为，

（2.50）

（2）设原始数据的协方差阵为V，如果原始数据进行了标准化处理，那么协方差阵等于相关矩阵，即有

V=R=XX'

（2.51）

（3）根据主成分数学模型条件③和正交矩阵的性质，若能够满足条件③最好要求A为正交矩阵，即满足

AA'=I

（2.52）

将原始数据的协方差代入主成分的协差阵公式，得

（2.53）

展开上式，得

（2.54）

展开等式两边，根据矩阵相等的性质，这里只根据第一列得出的方程为：

（2.55）

为了得到该齐次方程的解，要求其系数矩阵行列式为0，即

（2.56）

|R-λ₁I|=0

显然， 是相关系数矩阵的特征值，是相应的特征向量。根据第二列、第三列等可以得到类似的方程，于是是方程|R-λI|=0的p个根， 为特征方程的特征根， 是其特征向量的分量。