I.一些著作家关于算术句子的性质的意见

数公式是可证明的吗？

§5.必须把像2+3=5这样的涉及确定的数的数公式与对所有整数都有效的普遍定律区别开来。

这样的数公式被一些哲学家 [1] 看作像公理一样是不可证明的和直接显然的。康德 [2] 宣布它们是不可证明的和综合的，但是对把它们叫作公理则有所顾忌，因为它们不是普遍的，还因为它们的数是无穷的。汉克尔 [3] 把这种有关无穷多不可证明的原初真命题的看法称为不合适的和怪谬的，这是有道理的。实际上，这种看法与理性对于第一根据要一目了然的要求是矛盾的。那么，

是直接明了的吗？不是！而且康德正是用这一点来说这些句子的综合性质的。但是实际上这对于其不可证明性却是不利的；因为，由于它们不是直接明了的，若是不通过证明，怎么才能理解它们呢？康德想借助手指或点的直觉，这样他就陷入一种危险：使这些句子与他的观点相反，表现为经验的；因为37863根手指的直觉无论如何绝不是纯粹的。“直觉”这个表达似乎也是不太合适的，因为10根手指通过其相互排列就已经能够唤起不同的直觉。那么我们真有135664根手指或点的直觉吗？如果我们有这样的直觉，如果我们有37863根手指的直觉和173527根手指的直觉，那么我们就一定立即明白这个等式的正确性，即使它是不可证明的，至少也适合于手指；但是情况并非如此。

康德显然只考虑了比较小的数。于是，对于比较小的数通过直觉是直接明了的公式，对于大数就会是可证明的。然而难办的是，要对较小的数和大数作出根本的区别，尤其是在不可能划出明确界线的地方。如果譬如从10起，数公式是可证明的，那么人们就有理由问：为什么不是从5起，从2起，从1起呢？

§6.另一些哲学家和数学家也断言了数公式的可证性。莱布尼兹 [4] 说：

“2加2等于4，这不是直接的真；假定4表示3加1。人们可以如下证明这一点：

这个证明似乎首先完全是由定义和引入的这条公理建立起来的。甚至这条公理也可以变为一个定义，正像莱布尼兹本人在另一个地方所做的那样 [5] 。看上去，除了定义中包含的1、2、3、4以外，不必再知道任何东西。然而更仔细地考虑一下，人们就会发现一个缺陷，这个缺陷由于省略了括号而被掩盖起来。就是说，应该更精确地书写为：

这里缺少

这个句子，它是

的一种特殊情况。如果以这条定律为前提，就很容易看出，加法的每个公式都能以这种方式被证明。这样每个数就能够由前面的数被定义。实际上我看不出，人们如何能够以比莱布尼兹更合适的方式把譬如437986这个数给予我们。我们甚至没有关于这个数的表象，可确实就这样把它据为己有。通过这样的定义，数的无穷集合化归为一和加一，而且无穷多的数公式均能够由几个普遍的句子证明。

这也是H.格拉斯曼和H.汉克尔的观点。格拉斯曼要通过一条定义得到

这条定律，他说 [6] ：

“如果a和b是基本序列的任意项，人们就把a+b之和理解为基本序列的一个项，对这个项来说，

这个公式是有效的。”

这里，e应该意谓正单位。对这种解释可以有两种反对意见。首先，和是通过自身被解释的。如果人们还不知道a+b应该意谓什么，人们也就不理解a+（b+e）这个表达式。但是，如果人们与本文相悖地说，应该解释的不是和，而是加法，以此也许可以排除这种反对意见。而在这种情况下，依然能够反对说，如果没有基本序列的项或所要求的那些项，a+b就会是一个空符号。格拉斯曼只是假设不发生这种情况，而没有予以证明，因此严格性只是表面的。

§7.人们可能会认为，数公式根据其证明所依据的普遍定律，或者是分析的或综合的，或者是先验的或后验的。然而J. S.密尔的观点与此相反。尽管乍看上去他像莱布尼兹一样，想把科学建立在定义的基础上 [7] ，因为他像莱布尼兹那样解释个别的数；但是，他所持的偏见，即一切知识都是经验的，立刻又毁灭了这种正确的思想。他告诉我们说 [8] ，那些定义不是逻辑意义上的，它们不仅确定了一个表达式的意谓，而且因此也断定了一个观察到的事实。这个观察到的事实，或者像密尔用另一种方式所说的，在777864这个数的定义中所断言的物理事实，究竟会是什么呢？对于我们面前展现出来的极其丰富的物理事实，密尔只向我们提及唯一的一个据说是在3这个数的定义中被断言的事实。根据密尔的说法，这个事实在于：存在着一些对象的聚合，这些对象一方面在感官上造成 这种印象，另一方面又可以分为两部分，譬如 ，然而，幸亏并非世界上所有东西都是固定的；否则，我们就不能进行这种区分，而且2+1也就不会是3!遗憾的是，密尔也没有描述出作为0和1这两个数的基础的物理事实！

密尔继续说：“在承认这个句子之后，我们称所有这样的部分为3。”由此可见，当时钟敲打三下的时候，谈论三次敲打，或称谓甜、酸、苦三种味觉，实际上都是不正确的；赞同“一个方程式的三种解法”这个表达式同样是不正确的；因为人们由此从来也没有得到像从 得到的感觉印象。

这时密尔说：“计算不是从定义本身，而是从观察的事实得出来的。”但是在上述对2+2=4这个句子的证明中，莱布尼兹应该在什么地方诉诸提到的事实呢？密尔没有指出这一缺陷，尽管他对5+2=7这个句子给出一个与莱布尼兹完全相符的证明。 [9] 他和莱布尼兹一样，忽略了这个由于省略了括号而确实存在的缺陷。

如果每个个别的数的定义确实断定了一个特殊的物理事实，那么对一个以表示九的数进行计算的人，人们就会因为他的物理知识而佩服得五体投地。这里，密尔的观点也许并不在于坚持必须逐个观察所有这些事实，而是认为通过归纳法得出一条把它们全包括在内的普遍规律就够了。但是人们试图把这条规律说出来，而且人们将发现，这是不可能的。存在着可被分解的事物的大聚集，这样说是不够的；因为以此并没有说明存在着譬如定义1000000这个数所需要的这样大的和这一类的聚集，而且也没有更确切地说明划分的方式。密尔的观点必然导致以下要求：对于每个数，要特别观察一个事实，因为在一条普遍规律中恰好会失去1000000这个数独特的、必然属于它的定义的东西。根据密尔，人们实际上不能确定1000000 = 999999+1，除非人们恰恰看到了事物聚集的这种独特的、与专属于其他任何数的方式不同的分解方式。

§8.密尔似乎认为，在没有观察到他提及的那些事实之前，不允许做出2=1+1，3=2+1，4=3+1等等这些定义。实际上，如果人们不把任何意义与（2+1）联系起来，就不能把3定义为（2+1）。但是问题在于，因此是不是必须观察事物的聚集和分离。在这种条件下，0这个数就会令人困惑不解；因为至今大概还没有人看到或摸到0个小石子。密尔肯定会把0解释为无意义的东西，解释为一种纯粹的谈论方式；以0进行计算就会纯粹是以空符号进行的游戏，不过令人不可思议的是，这里怎么会产生某种理性的东西。但是如果这些计算当真有一个意谓，那么0这个符号本身也不能是完全没有意义的。而且这里表明这样一种可能性：即使没有观察到密尔提到的事实，2+1仍然可以和0类似地有一种意义。实际上谁愿意断定曾经观察到在密尔对表示18的这个数的定义中包含的事实呢？谁又愿意否认尽管如此这样一个数字依然有一种意义呢？

人们也许会认为，物理事实只用于譬如10以内较小的数，而其他数可以由这些数构造起来。但是如果不用看到相应的聚集，仅通过定义就能由10加1构成11，那么就没有理由说明为什么人们不能也这样由1加1构造2。如果以11这个数进行的计算不是从一个表示这个数的事实得出，为什么以2进行的计算就必须依据对一定聚集及其独特分离的观察呢？

人们也许会问，如果我们通过意义根本不能区别任何东西，或者只能区别三种东西，那么算术如何能够存在呢？对于我们关于算术句子及其应用的知识来说，这样一种状况当然有些令人尴尬，但是对于算术句子的真也是如此吗？即使人们称一个句子为经验的（因为我们必须进行观察，以便认识它的内容），人们也并不是在与“先验的”对立的意义上使用“经验的”这个词。这时人们表述了一个只与句子内容有关的心理方面的断定；这个句子是不是真的，这里则没有考虑。在这种意义上，所有荒诞故事也都是经验的；因为人们必须观察到各种各样的东西，才能编造出这些故事来。

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[1] 霍布斯、洛克、牛顿。参见鲍曼：《论时间、空间和数学》（Baumann,Die Lehren von Zeit,Raum und Mathematik,[Band I]S.241u.242,S.366ff.,S.475）。

[2] 《纯粹理性批判》（Kritik der reien Vernunft，Hartenstein.III.S.57）。

[3] 《复数及其函数讲义》（Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen,S.53）。

[4] 《新论》（Nouveaux Essais,[Liv.]IV.[Ch.VII.],§10.Erdm,S.363）。

[5] 抽象证明的优雅范例（Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis）（Erdm.S.94）。

[6] 《中学数学课本》第一部分：算术（Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten,I.Theil:Arithmetik,Stettin 1860,S.4.）。

[7] 《演绎和归纳逻辑系统》（System der deductiven und indudiven Logik,J.Schiel译.III.Buch，XXIV.Cap. ，§5）。

[8] 同上书，第2卷，第6章；§2。

[9] 《演绎和归纳逻辑系统》，第3卷，第24章§5。