一、几何命题的物理意义

你们之中的大多数人或许曾在学生时代知道了欧几里得，也一定曾试图攀上欧几里得几何学这幢雄伟的高楼。你们或许也记得，这更多的是出于崇敬而不是热爱，你们那尽职尽责的老师在身后鞭策督促甚至追赶着你们，一层一层地，领略欧几里得几何学的精美构造。从我们以往的经验来看，当有人断定这其中的一些即使是最不着边际的命题是假命题时，你也会对他报以些许轻蔑。但当有人再反问你：“等等，你不会还坚持认为这些命题都是真命题吧？”你之前的那种高傲态度就会瞬间烟消云散了。别急，我们再好好考虑一下这个问题。

几何学开始于“平面”“点”和“直线”这些特定概念，在这些简单概念的基础上，我们又能同其他更为抽象或更为准确的观念进行联系；凭借这些观念组成的简单命题（公理），我们开始有意去接受所谓“真理”。接着，在逻辑推理的基础上，我们被迫承认那些根据公理推导出的命题是正确无误的，这也就是说，它们已经被证实。因此，当一个命题被认为是用公认的方法从公理中推导出来的，那这个命题就是正确的（真的）。一个几何学命题的真实性问题也因此归结为某个公理的真实性问题。现在，众所周知，最后这个问题不仅仅是几何学研究方法所无法回答的，更重要的是，这个问题本身没有任何意义。我们不能问“两点之间只有一条直线”这个说法是否正确。我们只能说，欧几里得几何学就是跟“直线”打交道的，每一条直线都因为位于直线上面的两个点而被赋予了独一无二的性质。“真实”这个概念不适用于纯几何学，因为“真实”这个词最终往往指向一个与其相对应的“真实”的物体。然而，几何学不关心概念与经验客体之间的关系，它研究的是这些概念本身的逻辑关系。

这样，我们就不难理解为什么以“真理”来定义几何学命题会让我们觉得不太舒服了。几何学的概念对应于自然界中或宽泛或精确的对象，这些物体最终无疑就是这些概念的不二之源。几何学应当摆脱这种限制，它应该将它的结构置于最大可能的逻辑集合中。例如，通过一个刚体上的两个点的位置来处理“距离”的方法，是深深地嵌入了我们的思维方式中的。因此，只要我们挑选适当的位置用一只眼睛观察，让三个点的视位置重合，我们就倾向于认定三个点在一条直线上。

根据我们一贯的思维方式，如果我们现在在欧几里得的几何学命题中增补一个简单的命题：在一个刚体上的两点永远对应同一距离，不考虑在物体位置上我们可能造成的任何改变。这样的话，欧几里得几何学命题就归结为关于各个实践上可视为刚体的所有可能相对位置的命题。^[7]几何学以此方式被补充之后即可被视作物理学的一个分支。现在，我们就可以在这种范畴内合理地讨论欧几里得几何学命题的“真实性”问题。既然我们已经将这些几何学观念和真实的物体相联系起来，那么这么问也就合情合理了。我们可以用不太准确的话这么表达，在此意义上，我们像用标尺和圆规绘制一幢建筑那样来理解几何命题的“真实性”。

当然，在此意义上对几何学命题真实性的说法是非常独断的，也是建立在不完整经验上的。当前，我们应该假设几何学命题“真实性”的确实存在，然后，再从一个更大的格局（广义相对论原理）出发，我们就能够看出来，这种“真实性”具有非常大的局限性，我们还需要考虑这种局限性的适用范围。

点、线、面

点、线、面是几何学里的概念，是平面空间的基本元素。^[8]

欧几里得和《几何原本》

欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”。他最著名的著作《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。《几何原本》开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。^[9]