1.4.4 进制之间的转换

二进位制在计算机内部使用是再自然不过的。但在人机交流上，二进位制有致命的弱点——数字的书写特别冗长。例如，十进位制的100000写成二进位制成为11000011010100000。为了解决这个问题，在计算机的理论和应用中还使用两种辅助的进位制——八进位制和十六进位制。二进位制的三个数位正好记为八进位制的一个数位，这样，数字长度就只有二进位制的1/3，与十进位制记的数长度相差不多。例如，十进位制的100000写成八进位制就是303240。十六进位制的一个数位可以代表二进位制的四个数位，这样，一个字节正好是十六进位制的两个数位。十六进位制要求使用十六个不同的符号，除了0～9十个符号外，常用A、B、C、D、E、F六个符号分别代表（十进位制的）10、11、12、13、14、15。这样，十进位制的100000写成十六进位制就是186A0。

二进位制和八进位制、二进位制和十六进位制之间的换算都十分简便，而采用八进位制和十六进位制又避免了数字冗长带来的不便，所以八进位制、十六进位制已成为人机交流中常用的记数法。

1.十进制转换为二进制

十进制数转换成二进制数的方法是：整数部分采用除2取余法，即反复除以2直到商为0，取余数；小数部分采用乘2取整法，即反复乘以2取整数，直到小数为0或取到足够二进制位数。

例如，将十进制数25.625转换成二进制数，其过程如下。

①先转换整数部分。

转换结果为：（25）10=（11001）2。

②再转换小数部分。

转换结果为：（0.625）10=（0.101）2。

③最后结果：（25.625）10=（11001.101）2。

如果一个十进制小数不能完全准确地转换成二进制小数，可以根据精度要求转换到小数点后某一位停止。例如，0.36取四位二进制小数为0.0101。

2.二进制转换为十进制

二进制数转换成十进制数的方法是：按权相加法，把每一位二进制数所在的权值相加，得到对应的十进制数。各位上的权值是基数2的若干次幂。例如：

（1101.11）2=1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2=（13.75）10

3.二进制与八进制、十六进制的相互转换

每一位八进制数对应三位二进制数，每一位十六进制数对应四位二进制数，这样大大缩短了二进制数的位数。

（1）二进制数转换成八进制数的方法

以小数点为基准，整数部分从右至左，每3位一组，最高位不足3位时，前面补0；小数部分从左至右，每3位一组，不足3位时，后面补0，每组对应一位八进制数。

例如，二进制数（01011.01）2转换成八进制数为

001　011.010

1　 3　 2

即（01011.01）2=（13.2）8。

（2）八进制数转换成二进制数的方法

把每位八进制数写成对应的三位二进制数。

例如，八进制数（47.3）8转换成二进制数为

4　 7　.　 3

↓　 ↓　　↓

100　111　 011

即（47.3）8=（100111.011）2。

同理，二进制数（10101.11）2转换成十六进制数为

0001　 0101　 .　 1100

1　　　5　　　　 C

即（10101.11）2=（15.C）16。

（3）十六进制数转换成二进制数的方法

把每位十六进制数写成对应的四位二进制数。

例如，十六进制数（4F.8）16转换成二进制数为

4　　 F　 .　 8

↓　　 ↓　　　↓

0100　 1111　　1000

即（4F.8）16=（1001111.1）2

4.八、十六进制与十进制的相互转换

八进制、十六进制数转换成十进制数也是采用“按权相加”法。例如：

（25.14）8=2×81+5×80+1×8-1+4×8-2=（21.1875）10

（AB.6）16=10×161+11×160+6×16-1=（171.375）10

十进制整数转换成八进制、十六进制数采用除8、16取余法。十进制数小数转换成八进制、十六进制小数采用乘8、16取整法。