第2章 牛顿定律

自然界中的物体都是在相互作用中运动的。物体的机械运动与物体之间的相互作用是什么关系？与物体本身的性质有关吗？本章主要论述质点运动的基本定律，即牛顿运动三定律，它是动力学的核心内容。运用牛顿定律，可以分析物体的运动情况；我们在切实理解牛顿运动定律及其数学表达式的含义和有关概念的同时，应学会运用牛顿运动三定律研究各种具体力学问题。运用微积分知识，可以求解一维变力作用下的简单的质点动力学问题。

2.1 重要概念

2.1.1 力学中的常见力

1.万有引力（gravitation）

2.重力（gravity）

3.弹性力（elastic force）

F=− kx（弹簧的弹力）

4.摩擦力（friction force）

静摩擦力（static friction）

滑动摩擦力（sliding friction）

2.1.2 惯性参考系及非惯性参考系

1.惯性参考系（inertial reference system）

牛顿定律严格成立的参照系为惯性参考系。惯性参考系只能靠实验来确定。相对惯性参考系作匀速直线运动的参照系也是惯性参考系。根据天文观察，以太阳系作为参考系研究行星运动时发现行星运动遵守牛顿定律，所以太阳系是一个惯性参考系。地球有公转和自转，所以地球只能看作一个近似的惯性参考系。目前最好的惯性参考系为FK4系，它是由1535个恒星平均静止位形作为基准的参考系。

2.非惯性参考系（non-inertial reference system）

相对惯性参考系作加速运动的参考系是非惯性参考系，如平移加速系，转动加速系等。为了在非惯性参考系中方便地求解力学问题，引入一个叫作惯性力的虚拟力。引入惯性力以后，如果作用在物体上的合外力为F，则在非惯性参考系中，可以应用牛顿第二定律。

在非惯性参考系中，为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方程，引入惯性力的概念，引入的惯性力F惯必须满足

式中，F是质点受到的真实合力；a是质点相对非惯性参考系的加速度。

注意：真实力与参考系的选取无关，惯性力是虚构的力，不是真实力。惯性力不是自然界中物质间的相互作用，因此不属于牛顿第三定律涉及的范围，它没有施力物体，不存在与之对应的反作用力。

2.2 基本规律

2.2.1 力学相对性原理

对于不同的惯性参考系，牛顿第二定律有相同的形式，在一惯性参考系内部所做的任何力学实验，都不能确定该惯性参考系是否相对于其他惯性参考系运动。

2.2.2 牛顿定律

1.牛顿第一定律（Newton's first law）

任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变这种状态为止。

2.牛顿第二定律（Newton's second law）

物体受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与合外力成正比，并与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力的方向相同。

牛顿第二定律在数学上可以表述为

物体在低速运动的情况下

3.牛顿第三定律（通常称为作用力与反作用力定律）（Newton's third law）

当物体A以力F1作用在物体B上，物体B也必定同时以力F2作用在物体A上；F1和F2在同一直线上，大小相等而方向相反。可以表述为

F 1=−F2

2.3 学习要求

（1）掌握牛顿三定律及其适用条件；理解力、惯性、质量等概念。

（2）掌握用隔离法分析质点受力和解题的基本方法；能用微积分的方法求解一维变力作用下简单的质点动力学问题；

（3）了解惯性力的概念和特点以及在非惯性参考系中运用牛顿定律求解质点动力学的方法。

2.4 例题精解

例2-1 如图2-1所示，两小球的质量均为m，小球1从离地面高为h处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速v0同时竖直上抛。设空气阻力与小球的速率成正比，比例系数为k（常量）。试求两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。

分析：考查牛顿第二定律的应用及数学微积分的计算。两球相遇所用时间相同且y1=y2，先对两球分别进行受力分析，根据牛顿第二定律列方程，带入起始条件求解。

解：两小球均受重力和阻力的作用。小球1向下运动，速度为负，阻力−kv沿+y向，所受合力为−kv−mg。小球2向上运动，速度为正，阻力、重力均沿−y向，合力亦为−kv−mg，故两小球的动力学方程具有如下相同的形式：

由动力学方程（1）有，分离变量

对小球1，其初始条件为t=0时，v10=0,y10=h.对式（2）求积分

得

对小球2，其初始条件为t=0时，.对式（2）求积分

得

对小球1，由式（3）有，利用初始条件积分得

对小球2，由式（4）利用初始条件积分得

两小球相遇时，y1=y2，由式（5）、式（6）可得相遇时间为

将式（7）代入式（5）或式（6）得相遇地点为

将式（7）分别代入式（3）和式（4）中可得相遇速度为

讨论：①阻力很小时，即当k→0时，利用展开式，式（7）～式（10）可化简为，这正是不考虑空气阻力时的结果。

② 当考虑如题设的空气阻力时，由上述结果中的可知，只有当，即时，上述结果才能成立，两小球才可能相遇。

例2-2 飞机降落时的着地速度为，方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数，迎面空气阻力为，升力为（v是飞机在跑道上的滑行速度， Cx和Cy均为常数）。已知飞机的升阻比，求飞机从着地到停止这段时间所滑行的距离（设飞机刚着地时对地面无压力）。

分析：考查运用牛顿第二定律分析质点的运动。建立起直角坐标系，分别对水平和垂直两个方向进行受力分析并列方程，要熟练地运用求导公式减小变量，最后解题时要注意到题设条件（设飞机刚着地时对地面无压力）。

解：以飞机着地处为坐标原点，飞机滑行方向为x轴，竖直向上为y轴，建立直角坐标系如图2-2所示。飞机在任一时刻（滑行过程中）受力如图2-2所示，其中Ff=μFN为摩擦力，为空气阻力，为升力。由牛顿运动定律列方程：

由以上两式可得

分离变量积分：

得飞机坐标x与速度v的关系为

令v 0=，得飞机从着地到静止滑行距离为

根据题设条件，飞机刚着地时对地面无压力，即

， 又

得

所以有

例2-3 在光滑的水平面上放一质量为m0的楔块，楔块底角为θ，斜边光滑。今在其斜边上放一质量为m的物块，求物块沿楔块下滑时对楔块和对地面的加速度。

分析：本题考查牛顿第二定律及相对运动。先对m物体进行受力分析，m物体受到两个力——重力以及楔块对它的支持力。m0楔块受到重力以及地面对它的支持力、物块m对它的反作用力。分别对两个物体列方程，结合相对运动公式求解。

解：建立地面参考系，受力分析如图2-3所示。

物体m受力：mg、F

楔块m0受力：m0g、F0、F′（F′=F）

由运动的相对性得

x方向：

y方向：

由式（1）～式（5），可求得物块对楔块的加速度为

楔块对地面的加速度为

物块对地面的加速度大小为

其方向角β为

例2-4 一升降机以加速度上升，当上升速度为时，有一螺丝从升降机的天花板上松脱，天花板与升降机的底面相距2.74m。计算：（1）螺丝从升降机的天花板落到底面所需要的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离。

分析：考查质点做匀变速直线运动规律及相对参考系量的计算问题。在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下，一种处理方法是取地面为参考系，分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动，列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1=y1（t）和y2=y2（t），并考虑它们相遇，即位矢相同这一条件，问题即可解；第二种方法是取升降机（或螺丝）为参考系，这时，螺丝（或升降机）相对它做匀加速运动，但是，此加速度应该是相对加速度。升降机厢的高度就是螺丝（或升降机）运动的路程。

解法一： （1）以地面为参考系，取Oy坐标轴向上（见图2-4），升降机的运动方程为

螺丝的运动方程为

当螺丝落至底面时，有y1=y2，即

所以

（2）螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为

解法二：（1）以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度a′=g+a，螺丝落至底面时，有

（2）由于升降机在t时间内上升的高度为

则

例2-5 质量为m的子弹以速率v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；（2）子弹射入沙土的最大深度。

分析：本题考查牛顿第二定律的微分积分计算。对子弹进行受力分析，结合牛顿第二定律列微分方程，再积分求解，在解题过程要熟知微分变换公式。

解：设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受的阻力为

f =−kv

（1）由牛顿第二定律，得

所以

对等式两边积分，得

因此

（2）由牛顿第二定律，得

所以

对上式两边积分得

即

2.5 应用示例

2.5.1 巧妙利用摩擦力（小力变大力）

如图2-5所示，绳索绕在圆柱上，绳绕圆柱的张角为θ，绳与圆柱的静摩擦因数为μ，绳处于滑动边缘时，请分析绳两端的张力和的关系（绳的质量忽略不计）。

取一小段绕在圆柱上的绳，建立如图2-6所示的坐标系，ds两端的张力分别为FT和FT+dFT,ds的张角为dθ，圆柱对ds的摩擦力为Ff，圆柱对ds的支持力为FN，建立物体的平衡方程。

在水平方向上

在竖直方向上

根据摩擦力与正压力的关系

由于dθ很小，可以做如下近似，同时忽略二阶无穷小量，得

代入平衡关系式，整理后等式两边积分得

这个结果表明，由于摩擦力的存在，是的e的多少次方倍，并且随着θ的增大（也就是绳绕的圈数越多）将以惊人的倍数值快速增加。例如，设μ=0.29,=9.79N （即相当于1kg物体所受的重力），若绳子缠绕4圈，则=1.96 ×104N,是的近2000倍，由此可见有时摩擦力的作用巨大。故巨型轮船停泊靠岸时，利用这一原理把缆绳在专用的铁桩上绕上几圈它就会被牢牢固定住。

2.5.2 汽车制动时车轮受力分析

防抱死制动系统（Anti-lock Braking System,ABS），通过安装在车轮上的传感器发出车轮将被抱死的信号，控制器指令调节器降低该车轮制动缸的油压，减小制动力矩，经一定时间后，再恢复原有的油压，不断这样循环（每秒可达5～10次），始终使车轮处于转动状态而又有最大的制动力矩。现在绝大部分轿车早已将ABS作为标准配置。

驾驶过不带ABS的轿车的驾驶员都知道，如果遇到紧急情况将制动踏板踩到底，便能听见轮胎一声尖叫，于是在路面上留下两条黑黑的轮胎印，这是因为车轮不能转动（车轮抱死）而与路面发生了滑动摩擦的缘故。

其实对轮胎的磨损还是次要的，车轮一旦抱死，车子极易失去控制，从而出现危险的情况。如果前轮发生抱死，最直接的便是失去转向能力，此时打转向盘根本无济于事，而只能祷告车子赶快停下来！ 如果后轮发生抱死，转向能力倒是存在，但极有可能出现后轮侧滑，严重时便出现甩尾。车子一旦发生侧滑或甩尾，尤其是在高速行驶时，车身便完全失去了控制，只能听天由命了！

ABS最重要的功能并不是为了缩短制动距离，而是为了能够尽量保持制动时汽车的方向稳定性。防抱死制动系统起作用时，车轮与路面的摩擦属滚动摩擦（见图2-7），这会充分利用车轮与路面之间的最大附着力进行制动，从而提高制动减速度，缩短制动距离，但最重要的还是保证汽车的方向稳定性。

ABS工作时就相当于以很高的频率进行点刹，于是在紧急情况下踩制动踏板，肯定会感到制动踏板在颤动，同时也会听到制动总泵发出的“哒哒”声，这便是ABS在正常工作。制动总泵在不断调整制动压力，从而对制动踏板有连续的反馈力（见图2-8）。因此，在这种情况下，一定要“坚定不移”地踩住制动踏板，同时采取积极措施避险。

总之，ABS只是辅助安全系统，其作用都是非常有限的，因此千万不可完全依赖于这些系统，只有安全驾车才是最重要的。

2.5.3 实际估算速度加速度

武广铁路线路全长1068.6 km，火车用时约3 h。（1）估算武（汉）广（州）铁路客运专线火车的平均速度；（2）武（汉）广（州）铁路客运专线列车紧急制动时做减速直线运动，试估算列车紧急制动过程中的平均加速度。

根据平均速度的定义，火车的平均速度为

高速列车紧急制动距离约为5 km，制动时间为

平均加速度为

紧急制动过程中平均加速度的大小为2.0m · s−2。

2.5.4 汽车圆弧刹车

汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方程为s=20t−0.2t3 （单位：m,s）。求汽车在t=1s时的加速度。

根据加速度定义：

故

将R=200m及t=1s代入上列各式，得

故

α为加速度与τ的夹角。

2.5.5 绳子断裂判断

一根质量分布均匀的绳子，质量为 M、长度为 L，一端拴在竖直转轴OO＇上，并以恒定角速度ω在水平面上旋转，如图2-9所示。设转动过程中绳子始终伸直不弯曲，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T（r）。

沿绳子方向建立如图2-10所示Ox轴。在绳子上距离转轴x处取微元dx，质量为dm,，因为绳子做圆周运动，所以微元dr所受合力提供向心力：

距转轴为x处绳子的张力T（x）将提供的是x右侧的那段绳子做圆周运动的向心力，所以两边积分

绳子的张力T（r）是位置r的函数，距离转轴越近，绳子受到的张力越大。日常生活中做圆周运动的绳子因张力不够大而发生断裂时，往往从靠近转轴处开始断裂。

2.6 思考题解答

2-1 为什么在解决动力学问题时要求建立同一坐标系？

答：同一物体，对于不同的坐标系来说，运动参量情况是不同的。由于运动具有相对性，要想对物体相对于参考系的运动规律做出定量描述，动力学参量值只有对同一个坐标系而言才有意义。

2-2 物体在恒力作用下是否一定做匀变速直线运动？

答：当物体所受的合外力和它速度方向在同一直线上时，物体做匀变速直线运动。但当物体所受的合外力和它速度方向不在同一直线上时，物体就是在做曲线运动。所以，一个物体在恒力作用下不一定做匀变速直线运动，如平抛物体运动、斜抛物体运动所受到的仅仅为恒力重力，但物体做变加速曲线运动。

2-3 有人说：“人推动了车是因为推车的力大于车反推人的力。”这句话对吗？为什么？

答：错。由牛顿第三定律得：人推车的力等于车反推人的力，二者属于作用力与反作用力。车能被推动，是推力大于摩擦力。

2-4 两个滑冰运动员，质量分别为60kg和40kg，每人各执绳索的一头。体重者手执绳端不动，体轻者用力收绳。他们最终将在何处相遇？

答：设两个滑冰运动员之间的相互作用力为，各自加速度为则位移为，所以两人分别在绳长的处相遇。

2-5 汽车拔河，一辆汽车重1吨，发动机120kW，另一辆汽车重3吨，发动机90kW，两辆汽车车尾相接，在摩擦系数相同的情况下，哪辆车可能获胜？

答：汽车的牵引力表现为地面对主动轮的摩擦力，摩擦系数相同的情况下，质量重的车获胜，因为两车拔河时它们之间的相互作用力大小相同，所以摩擦力大的车获胜。

2-6 一个物体以初速度v0沿倾角为θ的斜面上滑，物体与斜面间的滑动摩擦系数为μ，设物体上滑到某位置后又下滑，问与哪个大？

答：

比较两式得到。

2-7 绳的一端系着一个金属小球，以手握其另一端使小球做圆周运动。问：

（1）当小球运动的角速度相同时，长的绳子容易断还是短的绳子容易断？为什么？

（2）当小球运动的线速度相同时，长的绳子容易断还是短的绳子容易断？为什么？

答：竖直平面内运动

（1）长的绳子容易断。因为：

（2）短的绳子容易断。因为：

2-8 “牛顿第一定律是包括在第二定律中的一个特殊情况（即F=0的情况），所以不是一个独立的定律。”这个论断对吗？为什么？

答：牛顿第一定律是一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。物体的保持原有运动状态不变的性质称为惯性，惯性的大小由质量量度，牛顿第一定律也称为惯性定律。牛顿第二定律是物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。

第一定律是指物体的运动本质（保持匀速直线运动或静止状态），这种本质不因外部条件的改变而改变。第二定律是力的作用定律（加速度产生的原因），物体受到的合外力为零时，加速度为零，物体处于匀速直线运动或静止状态，这和第一定律表述的现象一样，但并无联系。第一定律可以说是“一切物体在任何情况下，在不受外力的作用时，总保持静止或匀速直线运动状态”，这是一种理想的状态（理想的情况往往反映本质），是“不受外力的作用时”，而第二定律说的是特例“合外力为零时”。一个说的是物体存在方式的本质问题，一个说的是物体受力作用下的表现状态问题，在理想情况受外力的作用为零时可以推设出第一个问题，两者有逻辑上的关联，出发点却不一样，不是包含与被包含的关系，所以牛顿第一定律不是第二定律的特殊情况。

2-9 站在秤台上，仔细观察在站起和蹲下的过程中，台秤的读数如何变化。试用牛顿定律解释之。

答：设向上为正，据N+mg=ma，分为几个过程：

（1）当加速下蹲到减速下蹲的交点：加速度方向向下，失重，台秤示数小于真实重量；（2）当减速下蹲到静止蹲姿：加速度方向朝上，超重，台秤示数大于真实重量；（3）加速站起到减速站起的交点：加速度方向朝上，超重，台秤示数大于真实重量；（4）从减速站起到静止站立：加速度方向朝下，失重，台秤示数小于真实重量。

2-10 两个弹簧等长，劲度系数分别为k1和k2，将它们串联起来，等效的劲度系数为多少？若并联呢？

答：串联情况：设两弹簧受力为F，伸长量分别为x1、x2，则总伸长量为x=x1+x2，故

并联情况：设两弹簧受力为F，伸长x，则。

2-11 摩擦力是否一定阻碍物体的运动？

答：摩擦力是当两个物体之间有相对运动趋势或发生相对运动时，在接触面之间会产生一个阻碍物体相对运动的力。从摩擦力的定义来看，已经明确地指出摩擦力是阻碍物体相对运动的，其方向与物体相对运动的方向相反。当人在爬杆时，手用力握住杆，手对杆产生一个垂直于杆的压力。手用力向下拉，手对杆产生一个向下的力，没有摩擦力的话，这时手肯定是向下滑动的。实际情况是由于手有向下运动的趋势，在接触面之间就会产生一个阻碍手向下运动的力，方向向上，这个力就是摩擦力，并且是静摩擦力。人在走路时，人向后用力蹬地，就会产生一个向前的摩擦力，使人向前运动。假设没有摩擦力，人就无法前进。传输带上的物体没有摩擦力就不可能运动。所以摩擦力一定阻碍物体的运动是不对的，摩擦力阻碍物体运动和其阻碍物体之间的相对运动是不一样的。

2-12 有人说：“惯性是当无外力作用时，物体要保持它的运动状态不变的性质。”这种说法对吗？

答：物体保持运动状态不变的属性叫作惯性。惯性代表了物体运动状态改变的难易程度。惯性的大小只与物体的质量有关。质量大的物体运动状态相对难以改变，也就是惯性大；质量小的物体运动状态相对容易改变，也就是惯性小。惯性是一切物体固有的属性，无论是固体、液体或气体，无论物体是运动还是静止，都具有惯性。

2-13 用一条细绳将一重物吊在天花板上，问下述哪种情况可使绳中的张力为最大或为最小？（1）电梯静止；（2）电梯匀速上升；（3）电梯减速下降：（4）电梯加速下降。

答：受力分析，设向上为正：T−mg=ma。（1）当电梯静止，a为零，T =mg,（2）电梯匀速上升：T =mg；可见静止和匀速张力都等于重力；（3）电梯减速下降，T−mg=ma，加速度方向向上，T =m（g+a），超重；（4）电梯加速下降，T−mg=ma，加速度向下，为负，T =m（g−a），失重。故（1）、（2）两种情况张力不变，都等于重力；（3）情形张力最大；（4）情形张力最小。

2-14 将一轻绳绕过一个固定在高处的定滑轮，站在地上的体重相同的两人分别抓住绳的各一端，甲用力爬绳，乙则只握紧绳而不爬。如果不计定滑轮的摩擦力，问谁先到达定滑轮处？

答：滑轮问题属于连接体问题，两人之间绳的作用力大小相等，对两人进行受力分析，分别受到重力和绳子的拉力，加速度相同，相同时间位移也相同，所以两个人会同时到达定滑轮处。

2-15 在门窗都关好的开行的汽车里，漂浮着一个氢气球，当汽车向左转弯时，氢气球在车内将向左运动还是向右运动？

答：汽车左转弯时，具有指向车厢左侧的法向加速度，汽车为非惯性系。

在汽车内观察，其中空气将受到指向右侧的惯性离心力。气球右边压强大左边压强小，所以气球向左运动。

2.7 习题解答

2-1 质量为0.25kg的质点，受F=ti（N）的力作用，t=0时该质点以v=2jm · s−1的速度通过坐标原点，该质点任意时刻的位置矢量是（ ）。

A.2t 2 i+2 jm

B.

C.

D.条件不足，无法确定

解：据，可知质点沿y方向速度大小不变，则

根据题意

等式两边进行积分

等式两边进行积分

故得到

故正确答案应该选B。

2-2 一硬币放在唱片上跟随唱片转动，则硬币所受摩擦力的方向为（ ）。

A.与硬币的运动方向相同

B.与硬币的运动方向相反

C.与硬币相对运动的方向相反

D.指向圆心

解：因为硬币放在唱片上跟随唱片转动，上下重力与支持力相平衡，所以只受到指向圆心的摩擦力，为其提供向心力，故应选D。

2-3 质量为 m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度的平方成正比的阻力的作用，比例系数为k（k为正的常数）。该物体做匀速运动时的速度为（ ）。

A.

B.

C.gk

D.

解：由题意知，物体做匀速运动时受到的重力与阻力相平衡。

设阻力为 f, f =−kv2，则有

故可得到正确答案为A。

2-4 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动。设t=0时，物体位于坐标原点，速度为零。设该物体在力F=3+4t（SI）的作用下运动了3s，则此时物体的速度v=______，加速度a=______。

解：

2-5 质量为0.25kg的质点，受到力F=ti的作用，式中t为时间。已知t=0时该质点以的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量r=______。

解：据，可知质点沿y方向速度大小不变，则

根据题意：

等式两边进行积分

等式两边进行积分

故得到

2-6 如图2-11所示，一轻绳跨过一个定滑轮，两端各系质量为m1和m2的重物，且m1＞m2，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，此时重物加速度的大小为a。现在用一竖直向下的恒力F=m1g代替质量为m1的物体，质量为m2的重物的加速度为a＇，则

A.

B.

C.

D.不能确定

解：连接体问题，对两个物体进行受力分析，设向下为正，如图2-11所示，

没有代替前受力分析列方程：

力F代替质量为m1的物体后列方程：

故正确答案应该选B。

2-7 如图2-12所示，两个质量相等的物体分别用轻弹簧和细绳连接，用细绳和轻弹簧系于天花板上，静止后将绳剪断，问剪断瞬间两者的加速度各为多大？若将绳和弹簧位置交换，将绳剪断瞬间两者加速度又如何？

解：

（1）如图2-12（a）所示，剪断绳瞬间的受力分析如下：

由上三式得

而由于剪断瞬间连接m1、m2的是弹簧，还来不及发生形变，故对于m2物体进行分析得

可得到

（2）如图2-12（b）剪断绳瞬间，弹簧来不及发生变化的受力分析如下：

2-8 质量为m=0.5kg的质点做直线运动，其运动方程为：x=t3−2t2+5（SI制）。求t=2s时，质点所受的作用力。

解：步骤如下。

2-9 质量m=10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时物体位于原点，速度为零。求物体在力F=4+6x（N）的作用下运动到3m处的加速度及速度的大小。

解：

当x为3m时，加速度为

又由于

两边分离变量，同时积分，有

速度的大小为

2-10 一水平缆绳沿一水平轨道拖一200kg的车，在缆绳上的张力是500N，从静止出发，求（1）要使车的速度达到需要多长时间？（2）此时它已走多远？

解：

两边同时积分得

即

两边积分得

最后得

2-11 一辆900kg的轿车以的速度沿一水平公路行驶，多大阻力能使这辆车在30m内停下来？

解：

两边同时积分得

2-12 一个5kg的物体挂在一绳末端。求下列加速度情况下绳上的张力：（1）1.5 m · s−2，方向向上；（2），方向向下；（3），方向向下。

解：

（1）当物体以1.5m · s−2向上运动时：

此时物体处于超重状态。

（2）当物体以向下运动时：

此时物体处于失重状态。

（3）当物体以向下运动时：

此时物体处于完全失重状态。

2-13 一个12kg的箱子从长为5.0m的斜面顶端释放，斜面的倾角是30°，箱子受到的摩擦力是60N：求（1）箱子的加速度；（2）箱子到达斜面底端所需时间是多少？（3）箱子和斜面之间的摩擦系数是多少？

解：

受力分析如图2-13所示，由图2-13可知

2-14 在桌上有一质量为m1的木板。板上放一质量为m2的物体。设板与桌面间的摩擦系数为μ1，物体与板面间的摩擦系数为μ2，欲将木板从物体下抽出，至少要用多大的力？

解：

受力分析如图2-14所示，由图2-14可知

2-15 光滑水平面上放一光滑斜块，质量为M，物体m放在斜块上并用绳子拴在立柱上，如图2-15所示，问斜块M在水平面上以多大加速度运动时，

（1）斜块对m支持力等于零；

（2）绳子拉力等于零。

解：

（1）斜块对m的支持力等于零，则M在水平面向右运动时，由T的一个分力提供向右的加速度，另一个竖直分力提供与重力平衡：

a=gcotα

（2）绳子的拉力等于零，斜块只能向左运动，向左运动的加速度由斜面的支持力提供，斜面的支持力分解为竖直分力与重力相平衡，水平向左提供向左的加速度：

2-16 如图2-16所示，质量分别为M和m的两个木块，与一光滑水平面接触，M与m之间的静摩擦系数为μ。今用一水平力F推，问F为多大时，m才不会滑下来？

解：对各物体进行受力分析如下所示。

对于m：

由以上三式求得

对于M：

2-17 如图2-27所示，一质量为m的硬币置于书上，该书相对水平面翘起一角度θ。当角度增大到某一角度θ0后，硬币就会滑动。求硬币与书之间的摩擦系数μS和θ0的关系。

解：根据图2-17可知，在硬币刚要滑动时静摩擦力与重力在斜面的分力平衡。

由图中的受力分析可知

Fn =m g cos θ

静摩擦力为

重力沿斜面的分力为

f =μF n

F1=mg sin θ

由平衡条件可知

F 1= f

上面四式联立得

μ=tanθ

2-18 汽车在水平的弯道上行驶，弯道的半径为50m，设轮与地面的静摩擦系数为0.6。问汽车在此弯道上安全行驶不能超过多大的速率？

解：汽车的摩擦力提供汽车做圆周运动的向心力，故有

化简得其最大速率为

故汽车在此弯道上安全行驶的最大速率是。

2-19 在电唱机转盘上距轴10cm处放一小纽扣，当转速超过7rad · s−1时，小纽扣将开始向外滑动，求纽扣与转盘的静摩擦系数。

解：由题意可知

代入：,r=0.1m，得

2-20 已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离 x 的平方成反比，即,k 是比例常数。设质点在原点时的速度为零，求质点速度的大小。

解：设质点在A点时的速度为零，则在A/2处时速度的大小为

2-21 一架质量为5000kg的直升机吊起一辆1500kg的汽车以0.60m · s−2的加速度向上升起。问：

（1）空气作用在螺旋桨上的上举力多大？

（2）吊汽车的缆绳中张力多大？

解：设m1为汽车，m2为直升机。

对于直升机：

对于汽车：

2-22 在一水平的直路上，一辆车速的汽车的刹车距离s=35m。如果路面相同，只是有1∶10的下降斜度，这辆汽车的刹车距离将变为多少？

解：在水平路上μk为定值，则

−μ kmg=ma

而，故。

设斜面夹角为α，刹车距离为s′，加速度为a′，则

所以

代入已知数值，注意sinα = 0.1，可得

s′=39.5m

2-23 在与速率成正比的阻力的影响下，一个质点具有加速度a，其大小为−0.2v。求需要多长时间才能使质点的速率减小到原来速率的一半。

解：由题意知

两边分离变量并同时积分，有

2-24 质量为 M=10kg 的物体，放在水平地面上，静摩擦系数为μ=0.40。今要拉动或推动这物体，求：

（1）所需要的最小的力；

（2）这力是拉力还是推力？它的方向如何？

如果这物体在斜面上，静摩擦系数也为μ，斜面与水平的夹角为α，设tanα=0.10＜μ，现在仍然要拉动或推动这个物体，求所需的最小的力的大小和方向。

解：（1）对M进行受力分析，列方程，如图2-18（a）所示。

把式（1）代入式（2）得

若θ角为负角，相应的F力则为推力，由式（3）可以看出所需的推力值比拉力大（θ角的绝对值相等）。要求得拉力（θ≥0）F的最小值，可令cosθ+μsinθ取得最大值。令

cosθ+μsinθ=Y

两边同时微分得

令，则

因为，故上述θ取最大值，故F取最小值，即

所以，拉动物体所需的最小拉力为36.4N，方向与水平成21.80°角。

（2）在斜面上往上拉物体的情况。

设外力F与斜面夹角仍为θ，物体受力情况如图2-18（b）所示，取坐标轴如图2-18 （b）所示，则

刚好可以往上运动时，拉动物体时所需的最小力满足条件

同上，当时，F达到最小值，即Fmin=45.3N。

（3）在斜面上往下拉物体的情况。

设外力F与斜面的夹角为θ，物体受力情况如图2-18（c）所示，取坐标系如图2-18 （c）所示，则

刚好可以往下运动时，满足。

当F cosθ+mg sin α− f =0时

同上，F 的最小值对应，而F=27.0N。但由上式可知，当μm g cos α−m g sin α≤0，即当α≥arctan μ时，即使不施拉力F，物体也将自行下滑。

2-25 如图2-19所示，将一条长为l的细链条静止地放在光滑的水平台面上，链条的一半从台面上下垂，另一半平直放在台面上。试求链条刚滑离台面时的速度。

解：建立如图2-19所示坐标系，以链条下垂部分为研究对象。

它受到两个力：重力和台面上链条的拉力。显然，台面上的和下垂的链条的速度v相同，加速度a 也相同，设线质量密度为λ，因而有

链条下垂部分的牛顿方程为

整理有

又由于

则有

两边进行积分得

即

所以

2-26 一辆以行驶的汽车撞到桥墩上。车内的乘客被膨胀的气袋护住向前移动了65 cm（相对于地面）后停住。作用于乘客上半身的力有多大（假定力是恒定的，乘客的上半身质量为40 kg？

解：根据题意可知

又由于车内的乘客被膨胀的气袋护住向前移动了65 cm（相对于地面）后停住，代入，有

则

2-27 一升降机以加速度a下落。试求升降机内磅秤对质量为m的物体的读数。

解：受力分析如图2-20所示。

（1）加速上升或减速下降时，以物体m为研究对象，由牛顿第二定律F合=ma，有

由牛顿第三定律知

即磅秤示数为

（2）加速下降或减速上升时，以人为研究对象，由牛顿第二定律F合=ma，有

由牛顿第三定律知

即磅秤示数为