1.3 复杂网络同步

同步是一类重要的非线性现象，广泛存在于现实世界中。例如，大自然中的鸟群和鱼群的聚集、青蛙和蟋蟀的鸣叫、人类社会活动中观众鼓掌逐渐一致等是生活中常见和熟知的同步现象。同步反映了复杂系统之间最常见的一类协作关系，即起始于不同初始状态的两个或两个以上的耦合系统经过一段时间后最终达到完全相同的运动状态。

同步研究已经有很多年的历史。1665年，荷兰物理学家Huygens发现挂在同一横梁上的钟从不同的初始状态开始摆动，但经过一段时间后，所有的钟都会以相同的节奏摆动，即所有钟的动力学行为在某种意义下达到一致。1680年，荷兰旅行家Kemp在暹罗旅游时发现不计其数的萤火虫会以一致的频率闪烁，表现出奇妙的同步行为。后来，生物学家Buck对萤火虫节律同步闪光机制进行了实验论证。20世纪60年代，Winfree研究了振子耦合系统的同步现象，假设每个振子只与其周围有限个节点之间存在强耦合关系，振子的幅值变化可以忽略不计，从而将同步问题转化为相位变化问题^[10]。Kuramoto指出在一个有限个相同振子耦合的系统中，系统的总体动力学特性可以用一个简单的相位方程来表示，无论各个振子之间的耦合强度多么微弱，耦合系统最终可达到相位同步^[11]。人们进一步研究了耦合振荡器的同步现象^[12]。Pecora和Carroll采用主稳定函数法研究了复杂网络完全同步问题^[13]。之后，复杂网络的同步研究方兴未艾。

研究同步不仅能够帮助人们深刻地理解这些集群现象和行为发生的内在机制，还能通过利用同步原理来促进社会生产和人类生活，如核磁共振仪、保密通信、超导材料和激光设备等的研制，为人们的身体健康和通信安全提供了保障。然而，有些同步现象也给人类带来危害，如2000年在伦敦发生的千年桥事件、每年的“双11”购物者的同步消费导致的网络阻塞、假期的同步出行造成的拥挤和意外事件等。因此，人们有必要深入地研究和探讨同步现象发生的原理，趋利避害。由于复杂网络往往具有“小世界特性”和“无标度特性”，其同步问题的研究越来越受到人们的重视，相关综述文章可详见文献[14-16]。

1.3.1 复杂网络同步的数学模型

为了更好地理解复杂网络的动态特征，人们将动力学系统引入网络作为节点，每个节点对应于一个动力学系统。复杂网络同步是指在网络的每个节点上加一个动力学系统，让有边相连的两个节点的动力学系统之间存在相互的耦合作用，使得网络节点获得期望的动态性能。因此，复杂网络可称为复杂动态网络，复杂网络同步可称为复杂动态网络同步。

2002年，上海交通大学的汪小帆教授和香港城市大学的陈关荣教授将动力学系统引入网络的节点，提出了一个简单的一致连接的复杂网络模型——广义无标度动态网络模型^[17]。在该模型中，假定N个相同的节点通过线性扩散耦合作用构成复杂动态网络，每个节点都是一个n维的动力学系统，其动态方程描述为

式中，i为网络节点标号，x_i（t）=（x_i1（t），x_i2（t），…，x_in（t））^T∈R是第i个网络节点的状态变量，f （·）是描述节点动力学行为的非线性连续向量函数，c＞0代表网络的耦合强度，Γ∈R^n×n是网络的内部耦合矩阵。A=（a_ij）∈R^N×N是代表网络拓扑结构的外部耦合矩阵。若节点i 和节点j 之间有连接，则a_ij=a _ji=1（i≠j），否则a_ij=a _ji=0（i≠j），其对角元素满足。式（1-5）描述的网络模型节点之间是线性连接关系，可将其称为线性耦合复杂网络。

随着复杂动态网络研究的逐步深入，人们逐渐把时滞、时变、干扰、非线性、异构节点等因素加以考虑，使其更贴近真实的网络。

1.时滞复杂网络

复杂网络的节点在进行信息交换时，由于客观条件的限制，不可避免会出现传输滞后的现象，一个是节点系统本身含有时滞，另一个是网络节点耦合时出现时滞。具有滞后特性的复杂网络称为时滞复杂网络^[18，19]，通常将其动力学方程描述为

式中，τ（t）是网络节点自身的内部时滞，d（t）表示网络耦合时滞。

时滞的存在往往是系统不稳定和系统性能变差的根源，它破坏了系统的控制性能。对时滞复杂网络的研究是一个具有实际意义且富有挑战性的课题。

2.时变复杂网络

2004年，吕金虎等人基于大多数现实世界的复杂网络是时变的，实际网络不同的边有不同的连接权值，且它们的内部耦合矩阵可能不是一个对角阵的事实，提出了如下时变复杂网络模型^[20]

式中，Γ（t）是内部耦合矩阵，描述各个节点在时刻t 内部状态间的耦合。A（t）=（a_ij（t））∈R^N×N是时变外部耦合矩阵，描述整个网络在时刻t的拓扑结构和耦合强度，满足：如果任意两个网络节点i和j之间有连接，则a_ij（t）≠0，否则a_ij（t）=0，且对角元素。

3.非线性耦合复杂网络

从式（1-5）描述的网络模型可以看出，其节点内部耦合是线性关系，这存在一定的保守性。用非线性耦合向量函数g（x_j（t））代替线性耦合向量函数Γx_j（t），则相应的状态方程可写为

式中，g （·）代表网络节点的内部非线性耦合关系。可将式（1-8）描述的网络模型称为非线性耦合复杂网络^[21]。

4.切换复杂网络

在网络的演化过程中，有些节点之间的连接可能会丢失或增加，因此网络的拓扑结构会发生改变^[22]，具有切换拓扑结构的复杂网络数学模型可以描述为

式中，r（t）为马尔科夫过程，满足

式中，π_ij＞0为第i个拓扑结构切换到第j个拓扑结构的转移概率，且。

近年来，由于切换问题应用的广泛性，具有切换拓扑结构复杂网络的同步问题引起业内学者的广泛关注，成为同步领域的一个重要研究内容。

5.随机复杂网络

在实际的复杂动态网络中，由于外部条件的变化，节点之间的耦合受各种不确定随机因素的影响，而且随机性因素对系统造成的影响是不可忽略的^[23]。在随机噪声干扰下的复杂动态网络模型通常描述为

式中，h_i（t，x₁（t），x₂（t），…，x_N（t））表示随机噪声强度的函数矩阵，ω_i（t）是n维独立的维纳过程。

6.异构复杂网络

在前面提到的各种复杂动态网络模型中，要求节点动力学系统是相同的，可把上述网络模型视为同构复杂网络。不少学者从网络节点的差异性角度考虑，提出了如下形式的异构复杂网络模型

式中，f_i（x_i（t））是描述第i个节点动力学行为的非线性连续向量函数。通过对节点差异性的讨论，将异构问题引入复杂网络极大提升了同步控制研究的难度和高度[24]，扩大了复杂动态网络的研究范围，受到越来越多研究学者的关注。

随着复杂网络同步研究的深入，越来越多的现实因素被学者加入复杂动态网络同步模型的讨论中，以期得到与实际网络更加贴近的复杂网络数学模型。因此，离散复杂网络^[25]、多重耦合复杂动态网络^[26]、分数阶复杂动态网络^[27]、模糊复杂动态网络^[28]等网络模型也被研究人员建立和研究。如何进一步改进和完善复杂动态网络数学模型仍将是今后复杂网络研究的一个重要研究内容。

1.3.2 复杂网络同步的类型

随着研究的深入，研究人员结合实际问题提出了许多不同的网络同步类型，大致可以归纳成以下几种类型：完全同步^[29]、滞后同步^[30]、相位同步^[31]、聚类同步^[32]、外同步^[33]。实际上，网络的同步现象不仅可以被观察到，而且从理论上给出了严格的证明。

1.完全同步

完全同步是指复杂网络中相互作用的所有节点全部达到一致的状态，即当t→∞时，满足x₁（t）=x₂（t）=…=x_N（t）=s（t），这里x₁（t）=x₂（t）=…=x_N（t）称为网络状态空间的同步流形，s（t）称为同步状态。由于耗散耦合条件，式中同步状态s（t）为单个孤立节点的解，可以是周期轨道、平衡点，甚至可以是混沌轨道。完全同步是一种形式最简单、研究最广泛的同步方式。

2.滞后同步

滞后同步是指各个系统的输出在相位和振幅上相关，但存在一个时间差，即响应系统的状态输出在时间上以固定差值滞后于驱动系统，其他特性完全相同。

3.相位同步

相位同步是指两个耦合节点的相位之间以一定的比例锁定。相位同步是一类同步化程度比较弱的同步现象，对应于相位锁定而幅度相关很弱或不相关情形。在现实系统中，由于不同单元间的动力学特性不同，信息通过与时间相关的量在不同单元间传输，因此相位同步对于网络的信息处理具有特殊的意义。

4.聚类同步

聚类同步是指将整个复杂网络中的所有节点分为几个社区，处于同一个社区的节点可达到完全同步，而不同社区间的节点不能同步。作为一类特殊的同步现象，聚类现象在生物科学和通信过程中经常存在。

5.外同步

从驱动-响应的角度考虑，外同步是指响应网络节点的状态均同步于驱动网络对应节点的状态，即将网络同步的研究由单个网络推广到两个网络。在现实生活中，可把功能类化的节点当成一个网络，而把具有不同功能的节点分成多个网络来研究，例如将动物和人群分别看成两个网络，来研究某些传染病在这两个网络之间的传播动力学行为。两个复杂网络间的同步行为，除完全外同步外，还有借助于混沌同步概念^[143-145]的投影同步^[114-115]和广义同步等行为^{[34-35，116-118，141-142]}。

从同步误差e_i=x_i（t）-s（t）收敛速度的角度来看，复杂网络的同步类型可分为渐近同步^[37]、指数同步^[38]、有限时间同步^[39]和固定时间同步^[40]。当不再要求复杂动态网络实现完全同步时，拟同步行为得到了研究^[41]。

1.3.3 复杂网络同步的分析方法

大量的研究表明，一个复杂动态网络是否能够实现同步，取决于节点上动力学系统的特性、节点的耦合方式及网络的拓扑结构。复杂网络同步能力主要有三种分析方法，即主稳定函数法、连接图法和Lyapunov函数法。

Pecora和Carroll提出的主稳定函数法^[13]主要用来解决节点相同的复杂网络完全同步问题，通过对复杂网络系统在同步化流形上线性化，将其系统状态方程解耦，得到多个低维的主稳定方程，然后计算出系统的最大Lyapunov指数，进而判断系统的稳定性。如果最大Lyapunov指数小于零，其对应网络的所有特征子系统均稳定，则网络在同步流形上稳定。该方法不适用于网络中节点之间耦合关系是时变的情况，也不适用于网络中存在异质节点的情形，并且得到的是一种局部同步性结果。

为了避免主稳定函数法需要计算Lyapunov指数和耦合矩阵特征值的问题，Belykn等人提出了连接图法^[41]。该方法基于图论思想，将网络的动力学与拓扑结构联系起来，通过计算复杂网络中路径长度来判断网络的稳定性或者同步性。该方法可用于时变网络和非时变网络，不需要计算Lyapunov指数和耦合矩阵的特征值，只需要知道节点的动力学性质和网络自身的介数，就可以判断网络的同步性。这种方法的缺点是耦合强度下界估计值存在保守性，且不适用于具有异构节点或耦合时滞的复杂网络。

Lyapunov函数法从能量角度去分析系统的局部稳定性或全局稳定性。此方法首先构造一个类似于度量系统演化过程的能量函数，检验其是否随时间单调衰减，以判断系统的稳定性。该方法具有普适性，可以用于任何系统，被广泛应用在复杂网络的稳定性分析和同步控制分析中。在复杂网络同步问题分析中，当采用此方法时，需要将同步问题转化为误差系统的稳定性分析问题^{[42-45，119，147-148]}。该方法的局限在于如何构造合适的Lyapunov函数及Lyapunov函数的导数估计。

1.3.4 复杂网络同步的控制方法

当系统的初始状态不同时，复杂网络的节点动力学行为一般不会自发地达到一致，即不通过外部施加的控制不会自发地通过自身网络特性实现最终同步。这就需要对其内部结构进行相应的改变或在外部施加激励，而这种对内部改变网络结构或在外部施加激励的方法就是复杂动态网络的同步控制方法。

一般来说，实现复杂动态网络同步的途径可分为以下两大类：一是通过自身的动力学特性和拓扑结构使得复杂动态网络系统具备达到同步的能力，即基于改变网络属性的同步控制方法，如改变网络耦合方式^[46-48]、改变网络拓扑结构^[49-51]和设计自适应同步网络^[52-54]等；二是通过某些控制方法改变系统动力学特性或者网络的拓扑结构来控制网络强迫其达到同步，即基于控制理论的同步控制方法。

采用第一类方法来实现同步目标是非常困难的，原因在于现实中的网络节点数量往往是非常巨大的，仅靠网络系统自身随机性很强且网络自身会随时间而不断演化，很难达到预期控制目标。为了克服这一困难，研究人员大多会采用基于控制理论的同步控制方法来实现网络同步。基于控制理论设计复杂网络的同步控制器，主要包括自适应控制、牵制控制、间歇控制、采样控制、脉冲控制^[91-94]等方法。其中，牵制控制是从网络结构的角度来看，而其他几种控制方法是从设计方法和实现手段来划分的，因此在实际应用中牵制控制与其他几种控制方法相结合衍生出脉冲牵制控制、间歇牵制控制等控制方法。对于不同的复杂动态网络模型，选择适合的控制器有助于更好地实现网络的同步控制。下面分别介绍本书中用到的自适应控制、牵制控制、间歇控制、采样控制实现网络同步的研究进展。

1.自适应控制

自适应控制同步是在网络的某些节点上添加自适应控制器驱使复杂网络同步的方法。相对于传统的反馈控制来说，其控制增益不再是固定不变的，可根据不同的初始值自适应地对耦合强度进行调节，从而使得网络可以更好更快地达到同步和预期控制目标，可极大地节省同步所需的耦合代价，提高同步控制效率。另外，自适应控制具有很强的健壮特性，对于噪声和未建模动态都有很好的处理效果。在复杂动态网络同步控制领域，自适应控制方法已被广泛地采用并取得了丰硕的成果^{[55-59，135，146]}。对于网络中的未知参数，当网络拓扑结构未知时，可以设计合适的自适应更新规则对其进行估计，从而具有拓扑结构识别功能^[60-62]。

随着复杂动态网络研究的深入，复杂动态网络的同步与控制表现出方法多样化和各种方法相互结合的趋势，而这种趋势也将不断地促进复杂动态网络研究的发展，在各个领域中发挥着重要的作用。

2.牵制控制

由于复杂网络通常具有大规模节点数，控制网络的全部节点显然不可能且不切实际。牵制控制的基本出发点是通过仅控制网络中的少数节点，使得整个动态网络稳定在期望的同步状态，从而减少控制器的数量。不失一般性，假设只在前l个节点中加入了控制输入，而不对其余的节点施加控制，牵制控制模型可描述为

式中，u_i（t）表示所需要设计的控制输入。

牵制控制的低成本性使得它迅速成为控制复杂网络的常用控制方法之一。Wang和Chen在文献[63]对连续时间线性耦合网络系统模型牵制同步进行了研究，通过对无标度网络中占网络节点总数的一定比例的部分节点实施线性状态反馈牵制控制，从而影响网络中节点的传播动力学行为，达到对整个网络进行控制的目的。Chen在文献[64]中，在对耦合矩阵对称性、不可约或线性的连接没有限制的情形下，证明了仅对一个节点设计控制器来牵制一个耦合的复杂动态网络到均质节点，并给出了保证牵制过程局部收敛和全局收敛的充分条件。在牵制同步控制研究中，有两个基本问题需要考虑：一是对于给定的网络拓扑结构，至少需要控制多少节点才能实现同步；二是什么类型的节点应该优先选择。许多学者对这两个问题进行了研究，并取得了大量的成果^{[65-70，136，140]}。由于牵制控制依赖于网络结构，如何确定被控节点的个数及怎样选择被控节点，依然是牵制控制的研究难点。

3.间歇控制

间歇控制是一种在时间域上不连续的控制方法，即把控制时间划分成一系列连续的周期，每个周期分为控制时间和休息时间。间歇控制器在控制时间对系统进行控制，在休息时间对系统不实施控制，具有较低的控制成本，并便于实施等特性。在文献[71]中，Xia和Cao首次将周期间歇控制用于研究动力系统具有时滞的复杂网络牵制同步问题^[71]。Cai等人^[72]对一类系统含时滞复杂网络同步问题进行了深入研究，并在牵制和周期间歇控制情况下得到了更一般的同步条件兼用牵制和周期间歇同步方法。考虑到间歇性因素的复杂性，Liu等人^[73，74]进一步将周期间歇控制策略拓展到非周期间歇控制策略。基于间歇控制策略的复杂网络同步问题受到了广泛关注^{[75-80，149-152]}。

4.采样控制

随着数字控制技术逐步取代模拟控制技术，采样控制在工程领域得到了越来越广泛的应用。采样控制的主要特征是利用系统在一系列离散时刻的采样信息，对系统施加反馈控制。在采样控制的框架下，需要传输的信息量大大减少，减少了带宽的使用，降低了控制成本。采样控制系统一般既含有连续信号又含有离散信号，这是系统分析和设计的难点。Fridman在文献[81]中提出了输入延时方法，将采样系统转变成具有时变有界延时的连续系统，解决了采样系统的稳定问题。基于输入延时方法，文献[82-84]通过构造更为有效的不连续Lyapunov泛函，结合新的不等式技巧，研究了具有弱保守性的时滞复杂网络的采样同步问题。基于采样控制实现复杂动态网络同步是目前研究的热点，已有大量成果发表^{[85-90，136-139]}。

1.3.5 复杂网络同步的应用

大规模工业系统往往由大量系统组成且系统之间存在复杂的相互作用，系统的整体行为取决于子系统的动力学行为和相互作用。这与复杂网络理论中节点动力学行为和节点之间的相互作用涌现出整体动力学行为相吻合。因此，基于复杂网络理论框架研究大规模工业系统是合理的。

1.城市交通网络系统

城市交通网络由交叉路口和连接它们的街道组成，车辆在网络中行驶，可将城市网络或城市交通网络抽象为复杂网络，其中的交叉路口对应于节点，而街道对应于弧或边。在实际的交通出行中，某一路段的拥堵在城市交通网络中会逐渐向相邻的路段和节点进行传播。因此，深入研究拥挤瓶颈处交通流形成机理及城市交通网络这一特定的复杂网络的演化规律，可以解释城市交通拥堵机理，进而明晓造成局部交通瘫痪的根本原因。为讨论道路无拥塞运行的问题，我们将包含交叉路口各条支路中车辆排队队列的长度定义为网络中各节点的状态，那么此时同步的含义即交叉路口各条支路中车辆排队队列的长度均一致，从而可利用复杂网络系统同步的观点对城市交通网络的动态特性进行探讨^[96]。

2.大型电力网络系统

大型电力网络系统由于存在众多的负荷和输电线路，故难以采用常规方法逐一分析各个负荷来研究整体的性能。为了研究电网特性，将负荷视为节点，将传输线视为边，则可将电网简化为复杂网络模型。目前，将复杂网络理论应用于电力系统结构特征及故障动态传播行为的研究，其主要目标在于解释电网大停电事故的成因、发展规律，评价电网结构的脆弱性及搜索薄弱环节，以便预防事故的发生。因此，研究内容着重于以下几个方面：从复杂网络角度进行电网拓扑结构建模并试图合理解释连锁故障的发生、探寻结构特征量和电网事故形成与发展的关联关系、构造脆弱性指标，以评价电网脆弱性和搜索脆弱环节。

从整个电网的统计观点来看，各负荷节点的电压可以大致相同，当电网处于稳定运行时，整个大型电力网络中各负荷节点间的电压区别可以忽略不计。若在此类电力网络系统中将负荷的电压定义为对应复杂网络节点的状态，同步的含义可理解为最终各负荷的电压趋于相同，因此电力系统的稳定性和复杂网络的同步问题存在共同点^[97，98]。如果大型电网中各负荷的状态差别很大，即电压差别很大，电网很容易失压，从而引起大范围的停电事故。因此，复杂网络系统的同步理论可以用于研究大型电力网络实现各负荷的电压趋于相同的条件，这对于合理、均衡地调节电力网络系统也是非常有意义的。

3.多机器人系统

多机器人系统是指若干个机器人通过合作与协调而完成某一任务的系统。在对多机器人系统的队形保持和控制进行研究时，由于移动机器人感知和通信的有限性，各个移动机器人互相感知和通信是不现实的。我们可将每个移动机器人看成网络中的一个节点，移动机器人之间的感知和通信关系看成边，那么多移动机器人的队形就可以看成一个网络。各个移动机器人必须根据共享的信息进行协商，从而保持它们行为的一致性。因此，利用复杂网络同步理论研究队形不同的多移动机器人队形控制问题具有重要的应用价值。

从上面介绍的工程应用案例可以看出，结合复杂网络的同步理论，将为实际工业中很多系统的动态性能分析提供新的解决问题途径。综上所述，复杂网络的同步研究是一种具备理论和现实双重价值的新兴研究领域，具有很强的学科交叉特性，其理论的研究和现实的应用相互影响并相互完善。