第一章空间几何体

第一节空间几何体

一、课标导航

二、概念辨析

（一）多面体的结构特征

问题1 给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥.

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体.

④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.

其中不正确的命题为_____.

【分析】此问题考查的是对多面体的结构特征的认识。熟悉常见的几何体的结构特征，尤其是正棱柱、棱锥、棱台的性质，以及平行六面体的结构特征.

【解答】①②③

对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未做说明（如图1-1-1所示），故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确.

图1-1-1

（二）旋转体的结构特征

问题2 以下命题中正确命题的个数是_____个.

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥.

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台.

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆.

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.

【分析】此题考查对旋转体的形成，以及它们的结构特征的认识，如表1-1-1所示，注意旋转体形成时的旋转轴.

表1-1-1

【解答】1

命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥。命题②错，因这条腰必须是垂直于两底的腰。命题③对。命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行.

（三）球的结构特征与球面距离

问题3 半径为R的球面上有A、B两点，它们的球面距离是R，则线段AB的长为（）

A .

B.R

C .R

【分析】本题是对球面距离的考查.

球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫作两点的球面距离，常见问题是求地球上两点的球面距离。对于地球上过A、B两点大圆的劣弧长由球心角AOB的大小确定一，般先求弦长AB，然后在等腰△AOB中求∠AOB.

【解答】设球心为O，根据题意得：球心角为，∴在等腰直角三角形中求出斜边长为R，即得线段AB的长为R，故选D.

（四）内切球、外接球问题

问题4 正方体的内切球和外接球的半径之比为（）.

【分析】此题考查对几何体内切球和外接球的认识。注意内切球与几何体的各面相切；外接球为几何体的各顶点在外接球上。此外，还有一种球与几何体切于各棱的情况.

在正方体中，内切球的直径等于正方体的边长，外接球的直径等于正方体的体对角线长，而与正方体各棱相切的球的直径则为正方体的面对角线.

【解答】D

三、全能突破

基础演练

1.判断如图1-1-2（a）与图1-1-2（b）所示的物体是不是锥体，为什么？

图1-1-2

2.如图1-1-3所示为长方体ABCD-A´B´C´D´，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；若是，指出底面及侧棱.

图1-1-3

3.观察下列如图1-1-4中（a）与（b）的两个几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的，并说出主要结构特征.

图1-1-4

4.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）.

A.一个圆台、两个圆锥

B.两个圆台一、个圆柱

C.一个圆台、两个圆柱

D.一个圆柱、两个圆锥

5.如图1-1-5所示，将图（a）、（b）绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别如图（c）、（d）所示，指出（c）、（d）是由哪些简单几何体构成的.

图1-1-5

6.正多面体至少有_____个面，_____条棱，_____个顶点（）.

A.4，6，4

B.3，4，3

C.4，8，6

D.3，6，4

7.下列说法中正确的是（）.

A.由五个平面围成的多面体只能是四棱锥

B.棱锥的高线可能在几何体之外

C.仅有一组对面平行的六面体是棱台

D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥

8.设A表示平行六面体，B表示直平行六面体，C表示长方体，D表示正四棱柱，E表示正方体，则A，B，C，D，E的关系是（）.

A.A⊂B⊂C⊂D⊂E

B.A⊂B⊂D⊂C⊂E

C.E⊂D⊂C⊂B⊂A

D.E⊂C⊂D⊂B⊂A

9.下列说法中正确的是（）.

A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行

B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

C.棱柱中一条侧棱的长叫作棱柱的高

D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

10.下列说法正确的是（）.

A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

能力提升

11.下列说法中正确的有（）.

①以直角三角形的一边为旋转轴，旋转一周得到的几何体为圆锥.

②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的几何体为圆台.

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.

④分别以矩形两条不同的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

12.下列说法中正确的是（）.

A.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面

B.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫作圆锥

C.一个棱锥至少有四个面

D.用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫作圆台

13.在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，

①矩形

②不是矩形的平行四边形

③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体

④每个面都是等腰三角形的四面体

⑤每个面都是直角三角形的四面体

这些几何形体是（）.

A.①②④⑤

B.①②③⑤

C.①②③④

D.①③④⑤

14.下面四个选项中的长方体中由如图1-1-6所示的平面图形（其中，若干矩形被涂黑）围成的是（）.

图1-1-6

15.如图1-1-7所示，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成（a）、（b）、（c）三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A、B、C对面的字母分别为（）.

图1-1-7

A.D、E、F

B.F、D、E

C.E、F、D

D.E、D、F

16.长方体AC₁的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C₁沿长方体的表面的最短距离为（）.

A.1+

B.2+

C.3

D.2

17.如图1-1-8所示，正三棱锥S-ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）.

图1-1-8

A.2

B.3

C.2

D.3

18.已知ABCD-A₁B₁C₁D₁为单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA₁→A₁D₁→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB₁→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数），设白、黑蚂蚁都走完2011段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（）.

A.1

D.0

19.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）.

20.正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱的对角线共有（）条.

A.20

B.15

C.12

D.10

21.正方体的棱长为4，在正方体内放八个半径为1的球，再在这八个球中间放一个小球，则小球的半径为（）.

A.1

B.2

C .

D.-1

22.某中学在新课改活动中，成立了机器人小组，他们在一次实验中，要观察坐标平面内沿一正方形四周运动的质点，为了记录这个质点的任何时刻的运动数据和位置，特在垂直于坐标平面原点的正上方1个单位长度处安装一探测仪，它的探测范围是以自身为球心，半径可调节的球，现已知质点运动轨迹的正方形四个顶点为（0，0）、（1，0）、（1，1）、（0，1），那么探测仪的探测半径最少要调到（）.

A.1

B.2

23.如图1-1-9所示，在正方体ABCD—A₁B₁ C₁D₁上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是_____（写出所有正确结论的编号）.

图1-1-9

①矩形

②不是矩形的平行四边形

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体

④每个面都是等边三角形的四面体

⑤每个面都是直角三角形的四面体

24.在半径为R的球内，有一个内接正三棱锥一，它的底面上的三个顶点恰好在同个大圆上一，个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三顶点后返回，则经过的最短路程是_____.

25.（2002年第六届北京高中数学知识应用竞赛试题）北京时间2002年9月27日14点，国航CA981航班从首都国际机场准时起飞，当地时间9月27日15点30分，该航班正点平稳降落在纽约肯尼迪机场；北京时间10月1日19点14分，CA982航班在经过13h的飞行后，准点降落在北京首都国际机场，至此国航北京——纽约直飞首航成功完成。这是中国承运人第一次经极地经营北京——约直飞航线。从北京至纽约原来的航线飞经上海（北纬31°，东经122°）东京（北纬36°，东经140°）和旧金山（北纬37°，西经123°）等处，如果飞机飞行的高度为10km，并假设地球是半径为6371km的球体，试计算新航线的空中航程较原航线缩短了多少？