二、题型归纳与例题分析

1. 有关函数概念的常见题型

（1）求函数的定义域.

①初等函数的自然定义域.

②含有抽象复合函数的定义域.

③分段函数的定义域.

（2）利用函数的变换解有关函数的问题或求函数的表达式.

（3）求反函数.

【例1】　求函数的定义域.

【解】　函数的自变量x必须同时满足以下不等式：

故f（x）的定义域为：（-2，2）.

【注】　求初等函数的定义域时，主要根据基本初等函数的定义域. 当函数是复合函数时，要逐层列出有关等式或不等式；当函数由有限多个函数经四则运算得到时，其定义域为有限个函数定义域的交集.

【例2】　已知函数f（x）的定义域为[0，2]，试求下列函数的定义域.

（1）f（1+2x）；（2）f（2+sinx）；（3）f（elnx）；（4）f（x+a）+f（x-a）.

【解】　（1）由0≤1+2x≤2知，，故f（1+2x）的定义域为：.

（2）由0≤2+sinx≤2知，-1≤sinx≤0，⇒ 2kπ-π≤x≤2kπ（k∈Z），故f（2+sinx）的定义域为：.

（3）由0≤elnx≤2知，-∞＜lnx≤ln2，⇒ 0＜x≤2，故f（elnx）的定义域为：0＜x≤2.

（4）由，

则有：①当a≤2-a，即0＜a≤1时，函数的定义域为：[a，2-a].

②当a＞2-a，即a＞1时，此时上述不等式组无解，故函数无定义.

【注1】　复合函数的定义域的求法：内层函数的值域与外层函数的定义域交集上的内层函数的自变量取值范围，即复合函数的定义域.

【注2】　该类题如按下方法求解是错误的.

因为0≤x≤2，所以1≤1+2x≤5，故f（1+2x）的定义域为：[1，5].

【注3】　当定义域与参数有关时，可能要对参数的取值范围进行讨论.

【例3】　已知，试求f（x）.

【解】　方法一（变量替换法——一般性）

令，则，将其代入已知条件中，得

所以，　f（x）=x2-2.

方法二（恒等变形法——特殊性）

∵，

∴f（x）=x2-2.

【例4】　已知，f[φ（x）]=1-x，且φ（x）≥0，求φ（x）并写出它的定义域.

【解】　.

由ln（1-x）≥0，知1-x≥1，即x≤0，故φ（x）的定义域为：（-∞，0].

【注】　该题型是由已知复合函数的表达式，反过来求“中间变量”的表达式和定义域，关键是先写出f[φ（x）]的一般形式.

【例5】　设 试求复合函数f[g（x）].

【解】　∵

∴（1）当x＜1，g（x）=x-1＜0，故f[g（x）]=x，

∴（2）当x≥1，g（x）=0，故f[g（x）]=1，

【注】　求分段函数的复合函数时，除函数表达式用中间变量代替外，还要注意自变量的取值范围也要用中间变量代入，再确定复合函数的取值范围..

【例6】　设函数，求f（x）的反函数g（x）的表达式.

【解】

【注】　求分段函数的反函数时，应首先对每一分段区间求出对应的反函数，然后求出变量范围，最后再分段写出反函数的表达式.

2. 用定义证明函数的特性

【例7】　试证：若函数f（x），g（x）具有相同的单调性，则复合函数f[g（x）]必为单调增加函数.

【证明】　不妨设f（x），g（x）都是单调增函数，故以定义，当x1＜x2时，有

g（x1）＜g（x2）⇒ f[g（x1）]＜f[g（x2）]. 从而f[g（x）]为单调增加函数.

同理可证，f（x），g（x）都是单调减函数时，f[g（x）]亦为单调增加函数.

【注】　类似可证，若函数f（x），g（x）具有相反的单调性，则复合函数f[g（x）]必为单调减少函数.

【例8】　已知函数f（x）在（-∞，+∞）内恒大于零，且当k＞0时，.

证明：f（x）是（-∞，+∞）内的周期函数.

【证明】　对任意x∈（-∞，+∞），当k＞0时，∵，

即　f（x+2k）=f（x）.

根据定义，f（x）在（-∞，+∞）内是周期函数，且2k为其周期.

【例9】　当x≠0时f（x）满足且f（0）=0，|a|≠|b|.

证明：f（x）为奇函数.

【证明】

将（1）×a-（2）×b得

∵a2-b2≠0，且2a-3b，3a-2b不同时为零，又f（0）=0，

∵，故f（x）为奇函数.

【注】　要证f（x）为奇函数，只要f（-x）=-f（x）即可，为此关键先要找出函数f（x）的表达式.

3. 极限的计算

【例10】　求极限.

【分析】　利用重要极限，（f（n）→∞），需要把原题化成左式形式.

【解】

【例11】　已知极限，求常数a.

【分析】　利用重要极限，（φ（x）→∞），把已知极限化为重要极限形式，然后求出关于a的函数关系式.

【解】　因为，

即　e2a=4，所以a=ln2.

【例12】　已知极限，求常数a，b.

【分析】　该类题型由已知极限值去确定式中常参量的值，通过直接计算即可导出一个方程组，再解之.

【解】　由，

因为极限存在，所以有

【例13】　求下列极限.

【解】　（1）利用夹逼准则.

∵，

而，故由夹逼准则得：.

（2）方法一（利用单调有界准则）

先证单调性：

从而{xn}单调增加.

再证明{xn}的有界性：

从而，{xn}对一切的自然数n都有xn＜2，即{xn}有界；

根据单调有界准则知存在.

设，则由两边取极限得：，

解得：a=2，故.

方法二（利用数列的特征）

【注】　利用解方程的技巧求递推型数列极限的方法，其前提是极限要存在，忽略这一点往往会导致错误的结论，例如，xn=2n，则xn=2xn-1，如果设，两边取极限得：a=2a，由此解得a=0，该结论与不存在矛盾.

所以由夹逼准则知

【注】　在运用夹逼准则时，关键是找到一个放缩对象{yn}和放大对象{zn}，且满足条件.

【例14】　求下列极限.

（1）.

（2）.

【解】

【分析】　该题与（1）同为“∞-∞”型，但先要把根号里的和求出来，再利用有理化方法.

【例15】　求极限.

【解】　方法一（做倒代换）

方法二（做等价无穷小替换）

【例16】　求下列极限.

【解】　（1）利用夹逼准则

由夹逼准则，则.

4. 函数连续性与间断点

【例17】　设，在x=0处连续，求常数a.

【分析】　有关分段函数在分段点处连续问题，利用

【解】　∵.

要使f（x）在x=0处连续，必须有，故a=1.

【例18】　设，判断f（x）在x=0处连续性，若不连续，指出间断点类型.

【解】　∵.

∴可确定f（x）在x=0处不连续，且x=0为f（x）的第一类间断点中的跳跃间断点.

5. 闭区间上连续函数零点定理有关题型

【例19】　证明：方程2xx=1至少存在一个小于1的正根.

【证明】　令F（x）=2xx-1，取区间[0，1]，显然F（x）在[0，1]上连续.

又F（0）=-1＜0，F（1）=1＞0，

由闭区间连续函数的零点存在定理知：至少∃ξ∈（0，1），stF（ξ）=0，

亦即方程2xx=1至少存在一个小于1的正根.

【注】　该类题型通常都转化为一个函数（辅助函数）在要求的区间内是否有零点问题. 方法步骤如下.

第一步：将原方程化为F（x）=0（称标准化），则辅助函数就可以取F（x）.

第二步：根据题目要求认定取值区间.

第三步：验证F（x）在认定区间上满足零点定理的条件.

【例20】　设f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）＞a，f（b）＜b.

证明：存在一点ξ∈（a，b），使得f（ξ）=ξ.

【证明】　令F（x）=f（x）-x，取区间[a，b]，显然F（x）在[a，b]上连续.

又F（a）=f（a）-a＞0，F（b）=f（b）-b＜0，

由闭区间连续函数的零点存在定理知：至少∃ξ∈（a，b），stF（ξ）=0，

亦f（ξ）-ξ=0，即：∃ξ∈（a，b），stf（ξ）=ξ.

【注】　该类题型通常构造辅助函数在要求的区间内是否有零点问题. 方法步骤如下.

第一步：将要证结论化为f（ξ）-ξ=0（称标准化），将要证结论标准化等式左边表达式中所有ξ换成x，即f（x）-x，则辅助函数就取F（x）=f（x）-x.

第二步：根据题目要求认定取值区间.

第三步：验证F（x）在认定区间内存在零点，从而得出所证结论.

【例21】　若f（x）在（a，b）内连续，a＜x1＜x2＜x3＜b，则

【分析】　利用连续函数的介值定理.

【证明】　因为f（x）在[x1，x3]上连续，由闭区间上连续函数最值定理，必存在最大值M和最小值m，则

m≤f（xi）≤M，（i=1，2，3）.

从而有　，

由闭区间连续函数的介值定理知∃ξ∈[x1，x3]⊂（a，b），

使得　.

【例22】　证明在开区间（0，2）内至少存在一点x0，使得ex0-2=x0.

【证】　构造辅助函数F（x）=ex-2-x，则F（x）在[0，2]上连续，且

F（0）=e0-2-0=-1＜0，F（2）=e2-2-2=e2-4＞0.

由闭区间上连续函数的零点定理知：至少存在一点x0∈（0，2），使得F（x0）=0.

即　，亦即.

【例23】　求极限.

【分析】　该题是典型的“”型，包含重要极限，常用等价无穷小有.

【解】

【注】　在利用等价无穷小替换时，只有当无穷小因子与整个要求极限是乘积或商的关系时才能利用等价替换.

如该题若：是错误的.

【例24】　求极限.

【解】　方法一（分子、分母有理化）

方法二（恒等变形）

方法三（最小公倍数替换）

【例25】　求极限.

【分析】　有时候在求极限时，可以把所求极限看成是若干个极限的乘积或商，若每一个乘积或商的极限均存在，我们可以先一部分求出极限，再求剩下部分极限.

【解】

【例26】　求极限. “∞·0型”

【解】　方法一（部分有理化）

方法二（倒代换）

【例27】　已知极限，试求常数a，b的值.

【解】　由存在，且分母x-1当x→1时为无穷小，则分子一定为无穷小，

【例28】　当x→0时，是（　）.

A. 无穷小
B. 无界的，但不是无穷大量
C. 无穷大
D. 有界的，但不是无穷小量

【分析】　要正确选出答案，关键要弄清楚无穷大量与无界变量之间的区别：

（1）无界变量不一定是无穷大量.

（2）无穷大量一定是无界变量.

因此，当n→∞时，有x1n→0，x2n→∞，但变量f（x）或等于0或趋于+∞，

这表明当x→0时，f（x）是无界的，但不是无穷大，故B项为正确答案.