3.4 “奇数塔”中的秘密

通常把奇数写成

1,3,5,…,(2n-1),…(n为自然数)

这种写法,很难发现它所特有的一些奇妙性质。

如果把奇数写成“奇数塔”的形式:

1

3+5

7+9+11

13+15+17+19

21+23+25+27+29

……

情况就大不相同了。

下面就让我们来试试看。

首先算出每行奇数的和:

稍微一看就会发现:

(1)第几行,就有几个奇数;

(2)第几行奇数的和,就等于几的立方。

现在让我们在这两个观察结果上,动动脑筋:

从29=2n-1,n=15知道,29是第15个奇数。

换一个视角,15也是行号1,2,3,4,5的和,即15=1+2+3+4+5=5(5+1)/2。

我们还知道,奇数1,3,5,7,…,(2n-1),…的和,算到第几个数,就等于几的平方。现在算到了第15个数,就等于15的平方。

验证一下:13+23+33+43+53=225=152,确实如此。

请注意观察下面的两个等式:

用式(1)中的5(5+1)/2,换掉式(2)中的15,就得到

13+23+33+43+53=[5(5+1)/2]2

推而广之,就得到:

13+23+33+…+n3=[nn+1)/2]2

这不就是“求连续自然数立方之和的公式”嘛!

真是一个意想不到的结果!

原来,在“奇数塔”中,竟然隐藏着如此大的秘密!