第1章　板形与板凸度的基本概念

1.1　板形及其度量

1.1.1　板形

取一定长度的带钢自然地放到一个平台上，常常可以观察到带钢的翘曲。翘曲有各种形式，大多数是波浪形，薄带钢常产生皱纹或局部凸凹。翘曲有时可以遍布整个带宽，有时只限于局部。这种翘曲和带钢的变形不均及内应力分布不均密切相关。

轧制过程实质上是金属在旋转的弹性体——轧辊作用下发生塑性变形的过程，一定断面形状的坯料经过轧制发生明显的纵向延伸和一定的横向流动，最终成为一定尺寸的成品。板带轧制对变形过程有一个主要的要求，即沿板带宽度各部分有相同的纵向延伸。设想将带钢分割成若干纵条，如果任何一条上压下量发生变化，都会引起该窄条的纵向延伸发生变化，同时又会影响到相邻窄条的变形。由于带钢实际上是一个整体，各窄条之间必定互相牵制，互相影响。因此，当沿横向的压下量分布不均时，各窄条就会相应地发生延伸不均，这就会在各窄条之间产生相互作用的内应力。当这个内应力足够大时，就会引起带钢翘曲。由于轧制过程是—个复杂的物理过程，金属所发生的塑性变形和轧辊所发生的弹性变形受到许多因素的影响，要想彻底消除这种变形不均，是不可能的。但是，应该将这种变形不均限制在尽可能小的范围内，以防止带钢翘曲^［1］。

为了说明金属纵向变形不均的程度，引入了板形这个概念。所谓板形，直观说来，是指板材的翘曲程度；就其实质而言是指带钢内部残余应力的分布。只要带钢中存在残余内应力，就称为板形不良。如果应力虽然存在，但不足以引起带钢翘曲，则称为“潜在的”板形不良，如果应力足够大，以致引起带钢翘曲，则称为“表观的”板形不良^［2］。带钢在张力作用下冷轧有时并未发生翘曲，当去除张力后，带钢发生明显的翘曲，前者可称为潜在的板形不良，后者称为表现的板形不良。常见的带钢板形如下^［1］。

①理想板形。理想板形应该是平坦的，内应力沿带钢宽度上均匀分布。当去除带钢所受外应力和纵切带钢时，带钢板形仍然保持平直。

②潜在板形。潜在板形产生的条件是内部应力沿带钢宽度方向上不均匀分布，但是带钢的内部应力足以抵制带钢平直度的改变。当去除带钢所受外力时，带钢板形仍然保持平直。然而，当纵切带钢时，潜在的应力会使带钢板形发生不规则的改变。

③表观板形。表观板形产生的条件是内部应力沿带钢宽度方向上不均匀分布。同时，带钢的内部应力不足以抵制带钢平直度的改变。结果局部区域发生了弹性翘曲变形。去除带钢所受外力和纵切带钢都会加剧带钢的表观板形。带钢中内应力分布的规律不同，它所引起的带钢翘曲形式也不同。所以，可以依据内应力的分布规律和带钢翘曲情况，将板形缺陷分为不同的类型，如图1-1所示^［2］。

（1）带钢翘曲的力学条件

根据塑性力学的研究结果钢板发生翘曲的力学条件可以表示为：

　　 （1-1） 　　

式中　σ_cr——带钢发生翘曲的临界应力；

B——带钢宽度；

h——带钢厚度；

E_p——带钢材料的杨氏模量；

ν——泊松比；

k_cr——板材翘曲临界应力系数。

系数k_cr取决于应力分布特征及板边支撑条件，它可以成数量级地变化。例如，沿带钢宽向作用均匀的压缩应力，其一个长边可以自由挠曲时，或者板材四周均简单支撑，处于纯剪状态时k_cr可以小至0.5；但当板宽上仅有一半受到拉伸时，它可以高达25。

如果考虑到薄膜效应和某些不同边界条件，式（1-1）应用于宽板轧制不够精确，但是用它可以定性地进行估计。式（1-1）表明带钢的宽厚比在带钢翘曲方面具有重要的意义。利用式（1-1）对几种典型的应力分布进行分析，可以将应力分布规律和各种板形缺陷联系起来，图1-1实际上表明了内应力和板形之间的关系。

（2）良好板形的几何条件

如图1-2所示，横坐标表示各点的横向位置，即横向各点距带钢中心的距离，纵坐标分别为入口和出口轧件半高，入口断面形状为H（x），出口断面形状为h（x）。设各点对应的原始长度为L（x），轧后长度为l（x），根据体积不变定律并考虑到当保证良好板形时，板材轧制接近于平面变形，则纵向延伸和高度压缩之间应当有下述关系：

　　 （1-2） 　　

欲获得良好板形，必须保证带钢沿横向有相同的延伸。根据式（1-2），应该保证来料横断面几何形状和承载辊缝的几何形状之间相“匹配”，即轧前和轧后的轧件断面之间应保持下述几何关系：

　　 （1-3） 　　

式中　B——轧件宽度。

随板形表示方式的不同，这个几何条件的形式也不同。一般为了使问题简化，以带钢中心和接近带钢边部的某点的厚度差表示断面形状。下面讨论采用这种表示方法时式（1-2）给出的良好板形条件应取何种形式。仍如图1-2，设轧前带钢中心和边部的厚度分别为H_c和H_e，轧后相应的厚度为h_c和h_e，由式（1-2），利用分比定理，可得：

　　 （1-4） 　　

式中　，——轧前、轧后的轧件平均厚度；

C_H，C_h——轧前、轧后的轧件凸度。

式（1-4）就是常用的良好板形几何关系的表达式。虽然这种方法仅考虑带钢中心和边部两点，对于复合波等较为复杂的板形缺陷、不能确切地描述，但是由于这种方法简便，所以它仍广泛地应用于板形问题研究。

1.1.2　板形的度量

定量地表示板形，既是生产中衡量板形质量的需要，也是研究板形问题和实现板形自动控制的前提条件。因此，人们依据各自不同的研究角度及不同的板形控制思想，采取不同的方式定量地描述板形。所谓板形直观地说是指板材的翘曲度，就其实质而言，是指带钢内部残余应力的分布。根据不同的研究角度及不同的板形控制思想，采用不同的方式来定量地描述板形。其主要表示方法如下。

（1）相对长度差表示法

如图1-3（a）所示为轧后翘曲带钢的外形，该轧件由于边部产生较大的延伸而产生严重边波。将钢板裁成若干纵条并铺平，则如图1-3（b）所示，可清楚地看出横向各点的不同延伸。一个比较简单的方法就是取横向上不同点的相对长度差ΔL/L来表示板形，通常板形以I单位表示，其表达式为：

　　 （1-5） 　　

式中　I——带钢板形；

L——所取基准点的轧后长度；

ΔL——其他点相对基准点的轧后长度差。

（2）波形表示法

切取一段翘曲的带钢置于平台上，如将最短纵条视为一条直线，最长纵条视为一正弦波，以翘曲波形来表示板形，则称为翘曲度。翘曲度通常以百分数来表示，如图1-4所示。带钢的翘曲度λ表示为：

　　 （1-6） 　　

式中　λ——翘曲度；

R_V——波幅；

L_V——波长。

设在图1-4中与长为L_V的直线部分相对应的曲线部分长为L_V+ΔL_V，并认为曲线按正弦规律变化，则可利用线积分求出曲线部分与直线部分的相对长度差。因设波形曲线为正弦波，可得其方程为：

　　 （1-7） 　　

故与L_V对应的曲线长度为：

　　 （1-8） 　　

因此，曲线部分和直线部分的相对长度差为：

　　 （1-9） 　　

式（1-9）表示了翘曲度λ和最长、最短纵条相对长度差之间的关系，它表明带钢波形可以作为相对长度差的代替量。只要测出带钢波形，就可以求出相对长度差。

（3）矢量表示法

矢量表示法可形象地表示在控制系统作用下板形的变化趋势。如图1-5所示，设有某板形控制系统，当其设定值变化为1时，带钢的中心点c、半板中心点q、边部e点的板厚分别变化α_c、α_q、α_e。这里α_c、α_q、α_e为该系统对板形的影响系数。以板宽方向的位置x为横坐标，以α为纵坐标，可将影响系数表示于图1-5（a）上。上述三个影响系数的值大小不同，表示板形的变化趋势也不同。怎样用一个统一的量来表示这些复杂的变化呢？为解决这个问题，引入了板形矢量Θ。如图1-5（b）所示，板形矢量Θ有两个分量Θ_q和Θ_e，即：

　　 （1-10） 　　

Θ_q、Θ_e实际上分别是图1-5（a）中直线CQ和QE的斜率。根据矢量Θ在不同象限的位置，可以表示板形的不同变化趋势和变化的剧烈程度。如图1-6所示为板形矢量Θ位于不同象限时板形的变化趋势，可见，当Θ位于第一象限时，带钢向发生边波的方向变化；当Θ位于第三象限时，带钢向发生中波的方向变化，当Θ位于第二、四象限时，带钢向发生复合波的方向变化。这样，控制Θ在坐标系中的位置，就可以使带钢板形向需要的方向变化。

（4）残余应力表示法

前已述及，带钢板形实质上是指带钢内部残余应力沿横向的分布。所以在理论研究和板形控制中用带钢内部的残余应力表示板形更能反映问题的实质。一般将带钢内部残余应力表示为带钢横向相对位置2x/B的函数，x是所研究点距带钢中心的距离，B是板宽。经验表明，要精确表示残余应力分布，需要用四次函数，一般为了简化，只用二次函数，即：

　　 （1-11） 　　

式中　σ_re（x）——辊缝出口处距带钢中心距离为x的点在带钢中发生的残余应力。

式（1-11）的关键是a_T。a_T称为板形参数，它可以由理论分析确定。编制合理的轧制规程及进行板形控制，目的是将a_T减到最小。理论研究表明，a_T可以表示成：

a_T=a_T（t_f，t_b，H，h，v，c_w，c_b，F_w）　　（1-12）

式中　t_f，t_b——前、后张应力，Pa；

H，h——轧前、轧后厚度，m；

c_w，c_b——工作辊、支撑辊的凸度，m；

v——轧制速度，m/s；

F_w——液压弯辊力，N。

这种表示方法在考虑板形的最优规程设计时得到应用，寻求最优规程，应将a_T的表达式线性化：

　　 （1-13） 　　

式中　Δ——各量的增量；

K₁～K₈——各量对板形参数的影响系数；

——基准条件下的a_T值。

（5）带钢断面形状的多项式表示法

如果带钢断面是对称的，如图1-7所示，根据对断面的测量和计算，可以认为下式是逼近带钢断面形状的：

h（x）=h_c+a_ix²+b_ix⁴　　（1-14）

式中　a_i、b_i——断面特征的系数。

任何一个给定的断面形状，都可用式（1-14）表达。该式对宽度上任何两点x₁、x₂都成立，所以对x₁、x₂两点可以建立关于a_i、b_i的线性方程组。如果h_c给定，可以求出a_i、b_i。由此可见，只要知道了3个参量h_c、a_i、b_i，则断面形状就完全确定了。参量a_i、b_i主要取决于轧辊凸度分布、单位宽度轧制力分布、液压弯辊力和外加弯辊力矩，即：

　　 （1-15） 　　

式中　C_r——工作辊和支撑辊的凸度分布；

P——轧件和工作辊之间的单位宽轧制力分布；

F——外界作用的弯辊力F_w（工作辊）、F_b（支撑辊）；

M——外界作用的弯辊力矩M_w（工作辊）、M_b（支撑辊）。

在实际轧制过程中，控制P、F、M，改以改变a_i、b_i，从而达到改变轧后断面形状、控制板形的目的。下面根据板形良好条件，导出具体情况下良好板形条件的表达形式。设带钢入口断面形状为：

H（x）=H_c+a₁x²+b₁x⁴　　（1-16a）

带钢出口断面形状为：

h（x）=h_c+a₂x²+b₂x⁴　　（1-16b）

欲获得良好板形，应有：

　　 （1-16c） 　　

为此，必须满足：

　　 （1-16d） 　　

式中，η为相对压下量。

将式（1-16）用图1-8表示，由原点引出横坐标为b_i，向上的纵坐标为h，向下纵纵坐标为a_i，根据带钢原始断面形状参数h_c1、a₁、b₁，可以确定初始点A₁、B₁并作出射线OA、OB，在多道次轧制时，由h_c1轧到h_c2、h_c3、…，为保证完好板形，相应a_i、b_i值应由射线OA、OB确定，即分别为a₁、a₂、a₃、…和b₁、b₂、b₃、…。

这种表示方法不是选特定的点，而是以整个断面的形状来表示板形，所以它能反映复杂的板形缺陷。

（6）厚度相对变化量差表示法

这是一种比较简单的方法，它以边部和中心两点的厚度相对变化量差来表示板形的变化，它主要在模拟计算中用来描述某些外扰对板形的影响，板形参数Sh表示为：

　　 （1-17） 　　

式中　δ_c，δ_e——某种外扰引起的带钢中心和边部厚度的绝对变化量；

h_c，h_e——带钢中心和边部的厚度。

当Sh=0时，说明带钢板形没有变化；当Sh>0时，说明带钢向边波方向变化；当Sh<0时，说明带钢板形向中波方向变化。