2.2　分形维数

传统欧氏几何学中，维数的概念是非常重要和基本的，它反映了物质占据空间的基本维度。例如，在欧氏几何学中点的维数是0；直线的维数是1；方形、圆、椭圆等平面图形的维数是2；而立方体、球等立方图形的维数是3。这些整数维数称为拓扑维数。1919年，数学家从测度的角度引入了维数的概念，将维数从仅仅是整数扩大到分数，来定量地描述事物的“非规则”程度。这种非整数值的维数统称为分形维数。分形维数是刻画分形体结构特征的定量参量。

分形维数和欧氏几何的拓扑维数之间有一定的联系。当我们测量几何图形的长度和面积时，必须用同样维数的单位长线段或单位面积的正方形来度量。如果用1维的线段测量2维的正方形，所得结果将为无穷大，说明所用尺度太“小”；反之，如果用2维的正方形度量1维的线段，所得结果将为零，说明所用尺度太“大”。这说明，对几何体进行测量所得的结果与所用的尺度有关。而要恰当地描述一个分形体，则需要一个非整数维的尺度。如果将上述理解拓展到自然界的现象中，那么自然现象的分形维数则描述了自然现象中细小零碎的局部特征所构成的整体系统行为的相关性。