第四章 向量代数与空间解析几何

考试内容与要求

考试内容

向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积，向量的混合积，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦，曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件，点到平面和点到直线的距离，球面，柱面，旋转曲面，常用的二次曲面方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程．

考试要求

1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示．

2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件．

3．理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法．

4．掌握平面方程和直线方程及其求法．

5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题．

6．会求点到直线以及点到平面的距离．

7．了解曲面方程和空间曲线方程的概念．

8．了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单柱面和旋转曲面的方程．

9．了解空间曲线的参数方程和一般方程．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程．

题型4.1 求点到直线和点到平面的距离

（06,4分）点（2,1,0）到平面3x+ 4y+ 5z= 0的距离d= _________.

【答案】 应填.

【详解】 由点到平面的距离公式得

小结

题型4.2 建立旋转曲面的方程

1.（09,11分）椭球面S1是椭圆绕x轴旋转而成，圆锥面S2是由过点（4,0）且与椭圆相切的直线绕x轴旋转而成．

（1）求S1及S2的方程；

（2）求S1与S2之间的立体体积．

【分析】 S1及S2为两个旋转面，方程可直接写出；所围立体的体积可利用定积分或二重积分来计算．

【详解】（1）S1的方程为

过点（4,0）与相切的直线方程为，切点为，

所以，S2的方程为.

（2）S1及S2之间的体积等于一个底面半径为、高为3的锥体体积π与部分椭球体体积V之差，其中

故所求体积为

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2.（13,10分）设直线L过A（1,0,0）, B（0,1,1）两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面Σ, Σ与平面z= 0, z= 2所围成的立体为Ω.

（1）求曲面Σ的方程；

（2）求Ω的形心坐标．

【分析】 本题考查不在坐标面上直线的旋转曲面方程的建立与重积分的应用．

【详解】（1）过A（1,0,0）, B（0,1,1）的直线L的方程为

设（x, y, z）为旋转曲面上任意一点，且是直线L上对应点（x0, y0, z0）绕z轴旋转所得，则

消去上式中的z0即得L绕z轴旋转一周所得曲面Σ的方程为

x2+y2=（1-z）2+z2，即x2+y2-2z2+ 2z-1=0.

（2）设立体Ω的形心坐标为，由立体Ω关于坐标面yOz, xOz对称，得，而记Dz= {（x, y）| x2+ y2≤2z2-2z+ 1}，则

故,Ω的形心坐标为（0,0,）.

小结

本章总结