第七章 曲线、曲面积分

考试内容与要求

考试内容

两类曲线积分的概念、性质及计算，两类曲线积分的关系，格林（Green）公式，平面曲线积分与路径无关的条件，二元函数全微分的原函数，两类曲面积分的概念、性质及计算，两类曲面积分的关系，高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，散度、旋度的概念及计算，曲线积分和曲面积分的应用．

考试要求

1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系．

2．掌握计算两类曲线积分的方法．

3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数．

4．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分．

5．了解散度与旋度的概念，并会计算．

6．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）.

题型7.1 计算第一类曲线积分

1.（09,4分）已知曲线L:y= x2（0≤x≤），则=_______.

【答案】 应填.

【分析】 利用第一类曲线积分的计算方法直接计算．

【详解】 由题意可知

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2.（18,4分）设L为球面x2+ y2+ z2= 1与平面x+ y+ z= 0的交线，则=_______.

【答案】 应填- .

【分析】 利用第一类曲线积分的轮换对称性．

【详解】 由曲线L的特点，可用对称性

【评注】 充分利用变形的技巧及曲线积分的代入法化简．

小结

题型7.2 计算第二类平面曲线积分

1.（03,10分）已知平面区域D= {（x, y）| 0≤x≤π,0≤y≤π}, L为D的正向边界．试证：

【分析】 积分曲线L为闭曲线，且在D内不含奇点，可用格林公式将（1）式两边的积分化为二重积分，再利用二重积分的对称性证明；另外，积分曲线L为折线段，也可考虑用参数法将曲线积分直接化为定积分证明．（2）式的证明应注意利用（1）的结果．

（2）由于esinx+ e-sinx≥2，故由（1）得

【详解2】（1）由格林公式，得

因为D具有轮换对称性，所以

（2）由（1）知

【评注】 本题详解1与详解2中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的．另外，一道考题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.

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2.（04,4分）设L为正向圆周x2+ y2= 2在第一象限中的部分，则曲线积分-2ydx的值为______.

【答案】 应填

【分析】 写出积分曲线L的参数方程，将积分化为参变量的定积分．

【详解】 正向圆周x2+ y2= 2在第一象限中的部分可表示为

【评注】 本题也可添加直线段，使积分曲线成为闭曲线，然后用格林公式计算．

添加直线段L1:（,0）→（0,0）, L2:（0,0）→（,0），

记Dxy= {（x, y）| x2+ y2≤2, x≥0, y≥0}，则由格林公式得

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3.（07,4分）设曲线L:f（x, y）= 1（f（x, y）具有一阶连续偏导数）过第二象限内的点M和第四象限内的点N, Γ为L上从点M到点N 的一段弧，则下列积分小于零的是

【 】

【答案】 应选（B）.

【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项．

【详解】 设M, N点的坐标分别为M（x1, y1）, N（x2, y2）, x1＜x2, y1＞y2．先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：

故应选（B）.

【评注】 对于线、面积分，应尽量先将线、面方程代入被积表达式化简，然后再积分.

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4.（08,9分）计算曲线积分，其中L是曲线y= sinx上从点（0,0）到点（π,0）的一段．

【分析】 利用曲线的参数方程直接转化为定积分计算或添加线段使之形成封闭曲线，再用格林公式，而添加线段用参数法．

【详解2】 添加x轴上从点（π,0）到点（0,0）的直线段L1, D为L与L1围成的封闭区域，则

【评注】 封闭曲线L+ L1取负向，所以用格林公式时应注意前面取负号.

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5.（10,4分）已知曲线L的方程为y= 1-| x|, x∈[-1,1]，起点是（-1,0），终点是（1,0），则曲线积分=_____.

【答案】 应填0.

【分析】 利用参数法直接计算．

【详解】 如图1—7—1所示，L= L1+ L2，其中

L1:y= 1+ x（-1≤x＜0）, L2:y= 1- x（0≤x＜1）.

故应填0.

【评注】 此题也可补曲线，用格林公式.

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6.（12,10分）已知L是第一象限中从点（0,0）沿圆周x2+ y2=2x到点（2,0），再沿圆周x2+ y2= 4到点（0,2）的曲线段．计算曲线积分

【分析】 如图1—7—2，通过补线段后利用Green公式计算即可．

【详解】 设点O（0,0）, A（2,0）, B（0,2），补充线段，且设由曲线弧围成的平面区域为D，则由Green公式有

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7.（13,4分）设L1:x2+y2= 1,L2:x2+y2= 2,L3:x2+ 2y2= 2,L4:2x2+y2= 2为四条逆时针方向的平面曲线，记，则max{I1,I2,I3,I4}=

（A）I1.

（B）I2.

（C）I3.

（D）I4.

【 】

【答案】 应选（D）.

【分析】 此题考查第二类曲线积分值的大小比较，通过格林公式转化为二重积分来讨论．

【详解】 记Di为曲线Li所围成的平面区域（i= 1,2,3,4），由格林公式得

其中S（Di）表示Di的面积．下面利用极坐标和广义极坐标计算可得

令此时，于是

类似地，令，此时，于是

故max{I1, I2, I3, I4}= I4.

选（D）.

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8.（16,10分）设函数f（x, y）满足，且f（0, y）= y+ 1, Lt是从点（0,0）到点（1, t）的光滑曲线，计算曲线积分，并求I（t）的最小值．

【分析】 利用偏积分法先求出f（x, y），再利用积分与路径无关并选取特殊积分路径求出I（t）.

【详解】 因为，故f（x, y）= xe2x·e-y+φ（y）.

又f（0, y）= φ（y）= y+ 1，

从而f（x, y）= xe2x-y+ y+ 1，则

由，知曲线积分与路径无关．

故

由I′（t）= 1- e2-t= 0，得t= 2，而I″（t）= e2-t,I″（2）= 1＞0，

所以，当t= 2时，I（t）取极小值，即最小值，最小值I（2）= 3.

小结

题型7.3 有关曲线积分与路径无关的问题

1.（05,12分）设函数φ（y）具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数．

（1）证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有

（2）求函数φ（y）的表达式．

【分析】 证明（1）的关键在于如何将右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，转化为已知条件中的围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L，这可利用曲线积分对积分曲线的可加性分解曲线C；而（2）中求φ（y）的表达式，可利用（1）的结果：积分与路径无关．

【详解】（1）如图1—7—3，将C分解为：C= L1+ L2，

另作一条曲线L3围绕原点且与C相接，

（2）设,P, Q在单连通区域x＞0内具有一阶连续偏导数，由（1）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当x＞0时，

比较①②两式的右端，得

由③得φ（y）= -y2+C，将φ（y）代入④得2y5-4Cy3 = 2y5，所以C= 0，从而φ（y）= -y2.

【评注1】 本题难度较大，关键在于应先考虑到将右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，转化为已知条件中的围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L，再利用曲线积分对积分曲线的可加性，对曲线C进行分解．

【评注2】 本题如将（1）改为：证明在右半平面x＞0内积分与路径无关，则难度更大．证明积分与路径无关，最容易想到其充要条件，但是本题中含有未知函数φ（y），不能验证是否成立．但是，如果熟悉积分与路径无关的充要条件，则不难联想到将已知条件转化为证明对右半平面x ＞ 0内的任意分段光滑简单闭曲线C,．所以，熟练掌握积分与路径无关的充要条件有助于问题的分析与求解．

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2.（06,12分）设在上半平面D= {（x, y）| y＞0}内，函数f（x, y）具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f（tx, ty）= t-2f（x, y）．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有

【分析】 本题即证明积分与路径无关，可利用其充要条件，即- ，这可由等式f（tx, ty）= t-2f（x, y）两边对t求导得到．

【详解】 由等式f（tx, ty）= t-2f（x, y）两边对t求导得

x（tx, ty）+ y（tx, ty）= -2t-3f（x, y），

令t= 1，得

令P=yf（x,y）,Q= -xf（x,y），

所以，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有

【评注】 本题有一定的难度，关键在于如何由已知条件f（tx, ty）= t-2f（x, y），得到- f（x, y）- ．显然，等式f（tx, ty）= t-2f（x, y）两边应对x, y, t中的某个变量求导，通过简单验证，易知只有对t求导，才能得到要求的结果．另外，等式两边不含有t，对t求导后，应令t= 1.

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3.（17,4分）若曲线积分在区域D= {（x, y）x2+ y2＜1}内与路径无关，则a=______.

【答案】 应填-1.

【详解】 由题知，计算得

由积分与路径无关，知，故a= -1.

小结

题型7.4 计算第二类空间曲线积分

1.（11,4分）设L是柱面x2+ y2= 1与平面z= x+ y的交线，从z轴正方向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分=_____.

【答案】 应填π.

【分析】 用斯托克斯公式直接计算．

故应填π.

【评注】 注意其中对坐标的曲面积分的计算，用到了矢量点积法．本题可把曲线的参数方程写出，用参数法计算也可.

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2.（14,4分）设L是柱面x2+ y2= 1与平面y+ z= 0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分=_______.

【答案】 应填π.

【分析】 这是第二类空间曲线积分，其计算一般利用参数方程或Stokes公式．

【详解】 柱面x2+ y2= 1与平面y+ z= 0的交线L的参数方程为

x= cosθ, y= sinθ, z= - sinθ,0≤θ≤2π，

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3.（15,10分）已知曲线L的方程为起点为，终点为，计算曲线积分

【分析】 利用斯托克斯公式转化为面积分，并注意利用对称性简化计算．

【详解】 设L1是从点B到点A的直线段，Σ为平面z= x上由曲线L与L1围成的半圆面下侧，其法向量的方向余弦为

由Stokes公式得

由于曲面Σ关于xOz平面对称，所以．故

又L1的参数方程为x= 0, y= y, z= 0（y从- 到），所以

小结

题型7.5 计算第一类曲面积分

1.（07,4分）设曲面Σ:x + y + z = 1，则=______.

【答案】 应填.

【详解】 由于曲面Σ关于平面x= 0对称，因此又曲面Σ:x + y + z =1具有轮换对称性，于是

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2.（10,10分）设P为椭球面S:x 2+ y 2+ z 2- yz= 1上的动点，若S在点P 处的切平面与xOy 面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分，其中Σ是椭球面S位于曲线C上方的部分．

【分析】 本题考查了空间曲线的计算与投影，第一型曲面积分的计算等多个知识点，属综合题．

【详解】（1）求轨迹C.

令F（x,y,z）=x2+y2+z2-yz-1，故动点P（x,y,z）的切平面的法向量为={2x,2y-z,2z-y}．由切平面垂直xOy，得2z-y = 0.

注意到P在椭球面S:x2+ y2+ z2- yz= 1上，故所求曲线C的方程为：

（2）计算曲面积分．

因为曲线C在xOy平面的投影为，又方程x2+ y2+ z2- yz= 1两边分别对x, y求导得

【评注】 对于第一类曲面积分注意利用曲面的方程化简被积函数表达式.

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3.（12,4分）设Σ= {（x, y, z）| x+ y+ z= 1, x≥0, y ≥0, z≥0}，则=______.

【答案】 应填.

【详解】 由第一类曲面积分的计算公式得

其中平面区域Dxy:x+ y＜1, x≥0, y≥0.

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4.（17,10分）设薄片型物体S是圆锥面被柱面z2= 2x割下的有限部分，其上任一点的密度为记圆锥面与柱面的交线为C.

（1）求C在xOy 平面上的投影曲线的方程；

（2）求S的质量M.

【详解】（1）由题意知，C的方程为消去z得C在xOy平面上的投影曲线的方程

（2）S的质量为

其中S在xOy 面上的投影区域D= {（x, y）|x2+ y2≤2x}．故

小结

题型7.6 计算第二类曲面积分

1.（04,12分）计算曲面积分，其中Σ是曲面z= 1- x2- y2（z≥0）的上侧．

【分析】 先添加一有向曲面使之与原曲面围成一闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可．

【详解】 取Σ1为xOy平面上被圆x2+ y2= 1所围部分的下侧，记Ω为由Σ与Σ1围成的空间闭区域，则

由高斯公式知

故I= 2π-3π= - π.

【评注】 本题选择Σ1时应注意其侧与Σ围成闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在Σ1上直接投影积分时，应注意符号（Σ1取下侧，与z轴正向相反，所以取负号）.

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2.（05,4分）设Ω是由锥面与半球面围成的空间区域，Σ是Ω的整个边界的外侧，则=_______.

【答案】 应填.

【分析】 本题Σ是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可．

【详解】 由高斯公式得

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3.（06,4分）设Σ是锥面的下侧，则

【答案】 应填2π.

【分析】 本题Σ不是闭曲面，首先添加曲面取上侧，使Σ+Σ1构成闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分．

【详解】 设取上侧，则

将Σ1的方程代入积分，得I2= 0，

所以

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4.（07,10分）计算曲面积分

其中Σ为曲面的上侧．

【分析】 本题曲面Σ不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可．

【详解】 补充曲面，取下侧，则

其中Ω为Σ与Σ1所围成的空间区域，D为平面区域

由于区域D关于x轴对称，因此又

其中

【评注】 注意在计算过程中尽量利用对称性进行简化．本题也可通过直接投影进行计算，但计算过程比较复杂．

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5.（08,4分）设曲面Σ是的上侧，则=______.

【答案】 应填4π.

【详解】 补曲面，取下侧，记

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6.（09 ,10分）计算曲面积分，其中Σ是曲面2x2+ 2y2+z2= 4的外侧．

【分析】 用高斯公式但有奇点，根据题目特点挖掉一个小球面Sl:x2+ y2+ z2= R2.

由于被积函数及其偏导数在点（0,0,0）处不连续，作封闭曲面（内侧）

Σ1:x2+ y2+ z2= R2,0＜R＜1，有

【评注】 这是常见的题型，但需注意挖去合适的曲面以及曲面侧的选取.

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7.（14,10分）设Σ为曲面z= x2+ y2（z≤1）的上侧，计算曲面积分

【分析】 通过补一块曲面转化为封闭曲面上的积分，从而可用Gauss公式计算．

【详解】 设Σ1为平面z= 1上被曲线（单位圆）所围成部分的下侧，Σ1与Σ所围成的立体为Ω，则

【评注】 利用Gauss公式计算时，注意其封闭曲面是取外侧的．因此，对取曲面内侧的不要忘了改变符号.

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8.（16,10分）设有界区域Ω由平面2x+ y+ 2z= 2与三个坐标平面围成，Σ为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分

【详解】 由高斯公式得

【评注】 在三重积分的计算中，用先二后一积分较为简单，当然也可化为三次积分计算.

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9.（18,10分）设Σ是曲面的前侧，计算曲面积分

【分析】 补曲面后用高斯公式进行计算．

【详解】 补曲面取后侧，Ω为Σ与Σ1所围成的立体．利用高斯公式可得

利用柱坐标变换：y= rcosθ, z= rsinθ, x= x得

小结

题型7.7 计算向量场的散度及旋度

1.（16,4分）向量场A（x, y, z）=（x+ y+ z）i+ xy j+ zk的旋度rotA= ________.

【答案】 应填j+（y-1）k.

【详解】

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2.（18,4分）设F（x, y, z）= xyi- yzj+ zxk，则rotF（1,1,0）= _______.

【答案】 应填i- k.

【详解】 由旋度的定义

小结

本章总结