2.1　粉体的几何性能

粉体颗粒是构成粉体的基本单位。粉体的诸多性质都由颗粒的大小、形状及分布状态所决定。颗粒的粒径（或粒度）是表征粉体所占空间范围的代表性尺寸。单个颗粒，常用粒径来表示几何尺寸的大小；对颗粒群，可用平均粒径、比表面积等表示。绝大多数颗粒群不可能是由同一粒径的粒子所组成的单分散系统，而是由不同粒度的颗粒组成的多分散系统。为此，对于颗粒群最重要的粒度特征是平均粒度和粒度分布。

2.1.1　单颗粒粒径大小的表示方法

球形颗粒的大小可用直径表示，立方体颗粒可用其棱长来表示，其他形状规则的颗粒可用适当的尺寸来表示。有些形状规则的颗粒可能需要一个以上的尺寸来表示其大小，如锥体需要用直径和高度表示，长方体需用长、宽、高来表示。

真正由规则球形颗粒构成的粉体颗粒并不多。对于不规则的非球形颗粒，是利用测定某些与颗粒大小有关的性质推导而来，并使之与线性量纲有关。常用如下方式来定义它们的大小和粒径。

2.1.1.1　三轴径

设一个颗粒以最大稳定度置于一个水平面上，此时颗粒的投影如图2-1所示。以颗粒的长度l、宽度b、高度h定义的粒度平均值称为三轴径。下面是几种不同意义的三轴径的计算式。

算术三轴径：　d_3a1=　　（2-1）

调和三轴径：　　　　　　　　d_3a2=　　（2-2）

几何三轴径：　　　　　　　　　d_3a3=　　（2-3）

表面几何三轴径：　　　　　d_3a4=　　（2-4）

2.1.1.2　统计平均径

统计平均径是显微镜测定的一个术语。显微镜的线性目镜测微标尺如游丝测微标尺，将颗粒的投影面积分成面积大致相等的两部分。这个分界线在颗粒投影轮廓上截取的长度，称为“马丁直径”d_m。沿一定方向测量颗粒投影轮廓的两端相切的切线间的垂直距离，在一个固定方向上的投影长度，称为“弗雷特直径”d_f。如图2-2所示。

显然，在显微镜下，一个不规则的颗粒的粒径d_m和d_f的大小均与颗粒取向有关。然而，当测量的颗粒数目很多时，因取向所引起的偏差大部分可以互相抵消，故所得到的统计平均粒径的平均值，还是能够比较准确地反映出了颗粒的真实大小。

还有一种表示颗粒统计平均粒径的方式，是用一个与颗粒投影面积大致相等的圆的直径来表示的，一般称为投影直径d_p。为了测定颗粒直径，在显微镜目镜下的聚焦平面上，放置一块用玻璃板制成的量板，以取代线性目镜测微标尺。这种量板称为“帕特森量板”，如图2-3所示。量板上刻有直径由小到大排列的10个暗的和10个明的圆圈，其上的数字表示各圆圈的相对直径。利用显微镜物镜测微标尺，可以确定最小的那个圆圈所代表的直径大小，从而可以计算出其余各圆圈所代表的颗粒尺寸。量板上的长方形廓出了一部分待测的颗粒，将各个颗粒的投影面积与相应的圆圈相比较，就得出各个颗粒的投影直径d_p。这种方式简单、快速，但准确性较差。

2.1.1.3　当量直径

“当量直径”是利用测定某些与颗粒大小有关的性质推导而来，并使之与线性量纲有关。用得最多的是“球当量径”，如图2-4所示。假如某棱长为1的立方体，其体积等于直径为1.24的圆球体积，则1.24就是该颗粒的等体积球当量直径。类似地，还有等表面积球当量径。

从几何角度来看，球是最容易处理的，以球为基础，将不规则的颗粒看作相当的球，与颗粒具有相同体积的球直径称为等体积球当量径，计算公式：

d_V=　　（2-5）

与颗粒具有相同表面积的球直径称为等表面积球当量径，计算公式：

d_S=　　（2-6）

与颗粒具有相同比表面积的球直径称为等比表面积球当量径，计算公式：

　　（2-7）

对于薄片状的二维颗粒，常用与圆形颗粒相类比的方法，所得到的粒径称为投影圆当量径，常用的有等投影面积圆当量径和等周长圆当量径。与颗粒具有相同投影面积的圆直径称为等面积圆当量径，计算公式：

d_S=　　（2-8）

与颗粒具有相同投影周长的圆直径称为等周长圆当量径，计算公式：

d_S=　　（2-9）

2.1.2　颗粒形状

绝大多数粉体颗粒都不是球形对称的，颗粒的形状影响粉体的流动性、包装性能、颗粒与流体相互作用以及涂料的覆盖能力等性能。所以严格地说，所测得的粒径，只是一种定性的表示。如果除了粒径大小外，还能给出颗粒形状的某一指标，那么就能较全面地反映出颗粒的真实形象。常用各种形状因数来表示颗粒的形状特征。

2.1.2.1　颗粒的扁平度和伸长度

一个不规则的颗粒放在一平面上（例如，放在显微镜的载玻片上），一般的情形是颗粒的最大投影面与支承平面相黏合。此时，颗粒具有最大的稳定度。如图2-1所示，扁平度为短径b与厚度h之比，伸长度为长径l与短径b之比，计算公式：

m=　　（2-10）

n=　　（2-11）

2.1.2.2　表面积形状因数和体积形状因数

不管颗粒形状如何，只要它是没有孔隙的，它的表面积就一定正比于颗粒的某一特征尺寸的平方，其体积正比于这一尺寸的立方。如果用d代表这一特征尺寸，那么有：

表面积形状因数：　　　　　φ_S==　　（2-12）

体积形状因数：　　　　　　φ_V==　　（2-13）

φ_S和φ_V分别称为颗粒的表面积形状因数和体积形状因数。显然，对于球形对称颗粒φ_S=π、φ_V=。各种不规则形状的颗粒，其φ_S和φ_V值如表2-1所示。

2.1.2.3　球形度ϕ_c

球形度ϕ_c是一个应用较广泛的形状因数，其定义是：一个与待测颗粒体积相等的球形颗粒的表面积与该颗粒的表面积之比。

表2-2为理论计算的一部分形状规则的颗粒的球形度值和少数几种物料的实测球形度值。

2.1.3　颗粒群的平均粒径

在粉体粒度的测定中，采用各式各样的平均粒径，来定量地表达颗粒群的粒度大小。本节简单介绍一些在工程技术上经常采用的平均粒径。设：

颗粒群粒径分别为d₁、 d₂、d₃、d₄、…、d_i、…、d_n；

相对应的颗粒个数为n₁、n₂、n₃、n₄、…、n_i、…、n_n；总个数N=∑n_i；

相对应的颗粒质量为w₁、w₂、w₃、w₄、…、w_i、…、w_n，总质量W=∑w_i。

以颗粒个数为基准和质量为基准的平均粒径计算公式如下。

个数长度平均径：

D_nL=　　（2-14）

D_nL=　　（2-15）

长度表面积平均径：

D_LS=　　（2-16）

D_LS=　　（2-17）

表面积体积平均径

D_SV=　　（2-18）

D_SV=　　（2-19）

体积四次矩平均径

D_Vm=　　（2-20）

D_Vm=　　（2-21）

个数表面积平均径

D_nS=　　（2-22）

D_nS=　　（2-23）

个数体积平均径

D_nV=　　（2-24）

D_nV=　　（2-25）

长度体积平均径

D_LV=　　（2-26）

D_LS=　　（2-27）

平均粒径表达式的通式归纳如下。

以个数为基准：

D=　　（2-28）

以质量为基准：

D=　　（2-29）

在工程技术上，最常用的平均粒径是D_nL和D_SV。前者主要用光学显微镜和电子显微镜测得，后者则主要用比表面积测定仪测得。同一种粉体物料，各种平均粒径的大小，有时相差很大。

2.1.4　颗粒群的粒度分布

本节介绍如何用粒度分布的概念，来表征一堆多分散体的粉体物料的粒度。实践证明，千奇百态的多分散体，其颗粒大小服从统计学规律，具有明显的统计效果。如果将这种物料的粒径看成是连续的随机变量，那么，从一堆粉体中按一定方式取出一个分析样品，只要这个样品的量足够大，完全能够用数理统计的方法，通过研究样本的各种粒径大小的分布情况，来推断出总体的粒度分布。有了粒度分布数据，便不难求出这种粉体的某些特征值，例如平均粒径、粒径的分布宽窄程度和粒度分布的标准偏差等，从而可以对成品粒度进行评价。

2.1.4.1　粒度的频率分布

在粉体样品中，某一粒度大小（用D_p表示）或某一粒度大小范围内（用ΔD_p表示）的颗粒（与之相对应的颗粒个数为n_p）在样品中出现的百分含量（%），即为频率，用f（D_p）或f（ΔD_p）表示。若样品中的颗粒总数用N表示，则有如下关系：

f（D_p）=×100%　　（2-30）

或　　　　　　　　 　　f（ΔD_p）=×100%　　（2-31）

这种频率与颗粒大小的关系，称为频率分布。

例2-1：设用显微镜观察300个颗粒的粉体样品。经测定，最小颗粒的直径为1.5μm，最大颗粒为12.2μm。将被测定出来的颗粒按由小到大的顺序以适当的区间加以分组，组数用h来表示，一般多取10～25组。小于10组，数据的准确性大大降低；大于25组，数据处理的过程又过于冗长。取h=12。区间的范围称为组距，用ΔD_p表示。设ΔD_p=1μm。每一个区间的中点，称为组中值，用d_i表示。落在每一区间的颗粒数除以N，便是f（ΔD_p）。将测量的数据加以整理，结果见表2-3。

这种频率分布数据，可用一种图形形象地表示出来，这种图形称为直方图。根据表2-3的数据绘制的直方图如图2-5所示。每一个直方图的底边长，就是组距ΔD_p；高度即为频率；底边的中点即为组中值d_i。

如果将各直方图回归成一条光滑的曲线，便形成频率分布曲线（见图2-5）。工程上往往采用分布曲线的形式来表示粒度分布。

如果进而能用某种数学解析式来表示这种频率分布曲线，则可以得到相应的分布函数式，记为f（D_p）。频率分布曲线与横坐标轴围成的面积为：

f（D_p）dD_p=100%　　（2-32）

应当指出，粒度的频率分布的纵坐标，不限于用颗粒个数表示（当然，对于显微镜观测，因为可以数出颗粒个数，故用颗粒的个数表示很方便），也可以使用颗粒质量表示。这时所得到的分布，称为质量粒径分布。

此外，粒径分组的组距，不一定非为等组距不可，完全可以采用不等组距。这样，粒度的直方图分布，又可以分为等组距和不等组距两种。

2.1.4.2　粒度的累积分布

将颗粒大小的频率分布按一定方式累积，便得到相应的累积分布。它可以用累积直方图的形式表示，但更多的是用累积曲线表示。一般有两种累积方式：一是按粒径从小到大进行累积，称为筛下累积（用“-”号表示）；另一种是从大到小进行累积，称为筛上累积（用“+”号表示）。前者所得到的累积分布表示小于某一粒径的颗粒数（或颗粒质量）的百分数，而后者则表示大于某一粒径的颗粒数（或颗粒质量）的百分数。筛下累积分布常用D（D_p）表示，筛上累积分布常用R（D_p）表示。

将表2-3的数据进行累积处理后，便得到表2-4。图2-6便是根据表2-4绘制的累积直方图和两种累积曲线。

由表2-4中筛上和筛下分布中的数据和图2-6中的筛上和筛下两条分布曲线可以看出有这样一些关系：

D（D_p）+R（D_p）=100%　　（2-33）

　　（2-34）

较之频率分布，累积分布更有用。许多粒度测定技术，如筛析法、重力沉降法、离心沉降法等，所得的分析数据，都是以累积分布显示出来的。它的优点是消除了直径的分组，特别适用于确定中位数粒径等。

2.1.4.3　频率分布和累积分布的关系

频率分布f（D_p）和累积分布D（D_p）或R（D_p）之间的关系，是微分和积分的关系：

　　（2-35）

因此，f（D_p）又称为颗粒粒度分布微分函数，而D（D_p）或R（D_p）又称为颗粒粒度分布积分函数。

2.1.4.4　表征粒度分布的特征参数

（1）中位粒径D₅₀　所谓中位粒径D₅₀，乃是在粉体物料的样品中，将样品的个数（或质量）分成相等两部分的颗粒粒径。如图2-6所示。根据式（2-33）有：D（D₅₀）=R（D₅₀）=50%。这样，若已知粒度的累积频率分布，很容易求出该分布的中位粒径。

（2）最频粒径　最频粒径以D_mo表示。在频率分布坐标图上，纵坐标最大值所对应的粒径，便是最频粒径，即在颗粒群中个数或质量出现概率最大的颗粒粒径。如果某颗粒群的频率分布式f（D_p）已知，则令f（D_p）的一阶导数为零，

便可求出D_mo；同样，若D（D_p）或R（D_p）为已知，则令其二阶导数等于零，也可求出D_mo。

（3） 标准偏差　标准偏差以σ表示，几何标准偏差以σ_g表示。它是最常采用的表示粒度频率分布的离散程度的参数，其值越小，说明分布越集中。对于频率分布，σ与σ_g的计算公式如下：

σ=　　（2-36）

σ_g=　　（2-37）

如图2-7所示，虽然个数平均粒径==D_nL（C），但因σ_A<σ_B<σ_C，故曲线A的分布最窄，C分布最宽。