1.2　课后习题详解

1．（1）在0℃及101.325 kPa下，纯干空气的密度为1.293×10-3g·m-3，试求空气的表观摩尔质量；

（2）在室温下，某氮气钢瓶内的压力为538 kPa，若放出压力为100 kPa的氮气160 dm3，钢瓶内的压力降为132 kPa，试估计钢瓶的体积。设气体近似作为理想气体处理。

解：（1）根据理想气体状态方程，有

即

（2）根据Dalton分压定律，在相同体积，相同压力条件下，可得

根据理想气体状态方程，在相同温度条件下，可得

则

因此钢瓶体积为39.4dm3。

2．两个体积相同的烧瓶中间用玻管相通，通入0.7 mol氮气后，使整个系统密封。开始时，两瓶的温度相同，都是300 K，压力为50 kPa，今若将一个烧瓶浸入400 K的油浴内，另一烧瓶的温度保持不变，试计算两瓶中各有氮气的物质的量和温度为400 K的烧瓶中气体的压力。

解：两体积相同的烧瓶中，在温度为300K，压力为50kPa的条件下通入0.7mol氮气，则两烧瓶中均有(0.7/2)mol＝0.35（mol）的氮气。

根据理想气体状态方程，烧瓶的体积为

将一个烧瓶浸入400K油浴中，另一烧瓶保持300K。当两烧瓶平衡后，两烧瓶的压力相等，对应的两烧瓶体积也相等，设400K的烧瓶中氮气的物质的量为n₁，300K烧瓶中氮气的物质的量为n₂，则有

，，

又因为充入氮气的总量为0.7mol，则，代入上式得

，

400K烧瓶中的压力为

即400K烧瓶中氮气的物质的量为0.3mol，压力为57kPa，另一烧瓶中氮气的物质的量为0.4mol。

3．在293 K和100 kPa时，将He（g）充入体积为1 dm3的气球内。当气球放飞后，上升至某一高度，这时的压力为28 kPa，温度为230 K，试求这时气球的体积是原体积的多少倍?

解：在气球可承受范围内，将He（g）充入，此时气球内压力、温度均与外界相等，即p₁＝100kPa，T₁＝293K，V₁＝1dm3；当上升至某一高度，p₂＝28kPa，T₂＝230K时，根据理想气体状态方程，有，因此

4．有2.0 dm3潮湿空气，压力为101.325 kPa，其中水气的分压为12.33 kPa。设空气中O₂（g）和N₂（g）的体积分数分别为0.21和0.79，试求

（1）H₂O（g），O₂（g），N₂（g）的分体积；

（2）O₂（g），N₂（g）在潮湿空气中的分压力。

解：（1）在潮湿空气中，水气的分压为12.33kPa。

根据Dalton分压定律，有

根据Amagat分体积定律，有

（2）由Dalton分压定律，知

5．3.45ｇH₂（g）放在10 dm3的密闭容器中，从273 K加热到373 K，问需提供多少能量？H₂（g）的根均方速率是原来的多少倍？已知H₂（g）的摩尔等容热容。

解：已知H₂（g）的摩尔等容热容，因H₂在密闭容器中加热，所以能量为

由根均方速率公式得

6．计算293 K和373 K时，H₂（g）的平均速率、根均方速率和最概然速率。

解：在293K时，H₂（g）的平均速率为

根均方速率为

最概然速率为

因此，有

同理，在373K时，有

由可得

7．计算分子动能大于10 kJ的分子在总分子中所占的比例。

解：若在298K时有

即

则分子动能大于10kJ的分子在总分子中几乎没有。

8．在一个容器中，假设开始时每一个分子的能量都是2.0×10-21J，由于相互碰撞，最后其能量分布适合于Maxwell分布。试计算：

（1）气体的温度；

（2）能量介于1.98×10-21J到2.02×10-21J之间的分子在总分子中所占的分数。（由于这个区间的间距很小，故用Maxwell公式的微分式）

解：（1）由题意可知，每一个分子的能量为。

则1mol分子的平均平动能为

又因为，所以

（2）由于各分子的能量，微分得，代入下式

可得

9．根据速率分布公式，计算分子速率在最概然速率以及大于最概然速率1.1倍（即）的分子在总分子中所占的分数（由于这个区间的间距很小，可用微分式）。

解：分子速率在最概然速率以及之间的分子在总分子中的所占分数为

10．在293 K和100 kPa时，N₂（g）分子的有效直径约为0.3 nm，试求

（1）N₂（g）分子的平均自由程；

（2）每一个分子与其他分子的碰撞频率；

（3）在1.0 m3的体积内，分子的互碰频率。

解：（1）N₂（g）分子的平均自由程只有一个分子移动，则其平均自由程为

根据理想气体状态方程，有

n为单位体积内的分子个数，所以

（2）由

得每一个分子与其他分子的碰撞频率为

（3）根据分子的互撞次数公式，可得

11．在一个容积为0.5m3的钢瓶内，放有16 kg温度为500 K的CH₄（g），试计算容器内的压力。

（1）用理想气体状态方程；

（2）由van der Waals方程。已知CH₄（g）的常数，，。

解：（1）根据理想气体状态方程，可得

（2）根据VanderWaals方程，可得

12．已知CO₂（g）的临界温度、临界压力和临界摩尔体积分别为：T_c＝304.3K，p_c＝73.8×105Pa，试计算

（1）CO₂（g）的van der Waals常数a，b的值；

（2）313 K时，在容积为0.005 m3的容器内含有0.1 kgCO₂（g），用van der Waals方程计算气体的压力；

（3）在与（2）相同的条件下，用理想气体状态方程计算气体的压力。

解：（1）常数a，b的值：

（2）根据VanderWaals方程

可得

（3）根据理想气体方程，可得

13．热膨胀系数的定义为：试列式表示热膨胀系数与温度、体积的关系。

（1）设气体为理想气体；

（2）设气体为van der Waals气体。

解：（1）假设气体为理想气体，则根据理想气体状态方程，有，从而。

所以

此时热膨胀系数与温度的倒数成正比。

（2）设气体为vander Waals气体，则将vander Waals方程写成

所以

则此时热膨胀系数与体积有一定的关系。

14．NO（g）和CCl₄（g）的临界温度分别为177 K和550 K，临界压力分别为64.7×105Pa和45.5×105Pa。试用计算回答：

（1）哪一种气体的van der Waals常数a较小？

（2）哪一种气体的van der Waals常数b较大？

（3）哪一种气体的临界体积较大？

（4）在300 K和10×105 Pa的压力下，哪一种气体更接近理想气体？

解：（1）因为，所以

故NO（g）的vander Waals常数a较小。

（2）因为，所以

故CCl₄（g）的van der Waals常数b较大。

（3）由于临界体积，且由题（2）可知CCl₄（g）的Van der Waals常数b较大，由此可知CCl₄（g）的临界体积较大。

（4）两种气体的对比压力与对比温度分别为

查压缩因子图知，，Z_CCl4与1相差较多。

因此，在300K，的条件下，NO（g）接近理想气体。

15．273 K和100 kPa时，有1mol某实际气体符合Virial型状态方程，，已知第二Virial系数。试求该气体在这时所占的体积。

解：由于气体符合Virial型状态方程，则利用前两项求解，得1mol该气体的体积为

16．373K时，1.0 kgCO₂（g）的压力为5.07×103 kPa，试用下述两种方法计算其体积。

（1）用理想气体状态方程式；

（2）用压缩因子图。

解：（1）利用理想气体状态方程式计算其体积，得

（2）查表知，CO₂（g）临界温度，临界压力分别为

根据压缩因子图，可得Z＝0.88，则1 mol气体的体积为

所以

17．在273 K时，1 mol N₂（g）的体积为7.03×10-5 m3，试用下述几种方法计算其压力，并比较所得数值的大小。

（1）用理想气体状态方程式；

（2）用van der waals气体状态方程式；

（3）用压缩因子图（实测值为4.05×104 kPa）

解：（1）由理想气体状态方程式得

（2）根据vanderWaals气体状态方程，有，查表得vanderWaals常数为

所以

（3）查表得，则

，

根据压缩因子图，Z＝1.35所以

。

18．348 K时，0.3 kg NH₃（g）的压力为1.61×103kPa，试用下述两种方法计算其体积。试比较哪种方法计算出来的体积与实测值更接近（已知实测值为28.5dm3）。已知在该条件下NH₃（g）的临界参数为：T_c＝405.6 K，p_c＝1.13×104 kPa；van derWaals气体常数：a＝0.417 Pa·m6·mol-2，b＝3.71×10-5 m3·mol-1。

（1）用van der Waals气体状态方程式；

（2）用压缩因子图。

解：（1）根据vander Waals气体状态方程，有

（2），

由压缩因子图知，Z＝0.93所以，

由此可见，采用压缩因子图计算出来的体积和实测值更接近。

19．在Bessemar（柏塞麦）燃烧中充以含碳量为3％的铁10000 kg。

（1）若使所有的碳完全燃烧，计算要通入27℃、100 kPa的空气的体积。假定1/5的碳燃烧生成CO₂（g），4/5的碳燃烧生成CO（g）；

（2）求炉内放出各气体的分压力。

解：（1）

若碳完全燃烧，其中，1/5生成CO₂，4/5生成CO，则根据

可得

由于在空气中，则有

所以，需要的空气体积为

（2）计算得

20．制硫酸时需只制备SO₂（g）。在一定的操作情况下，每炉每小时加入硫30kg，通入过量的空气（使硫燃烧完全），所产出的气体混合物中含氧的摩尔分数为0.10，试问每小时要通入20℃、100 kPa的空气的体积？

解：

若混合气体中，则空气通过硫燃烧炉时消耗了，同时生成的SO₂占空气混合气体的摩尔分数，则有

所以每小时需要通入的空气体积为

21．发生炉煤气（producer gas）系以干空气通过红热的焦炭而获得。设若有92％的氧变为CO（g），其余的氧变为CO₂（g）。

（1）在同温同压下，试求每通过一单位体积的空气可产生发生炉煤气的体积；

（2）求所得气体中的摩尔分数。（空气中各气体的摩尔分数为，，，）

（3）每燃烧1 kg的碳，计算可得20℃，100 kPa下的发生炉煤气的体积。

解：（1）假设空气中O₂的摩尔分数为0.21，则一单位空气（V）中含有0.21V的O₂，0.79V的其他气体。O₂通过红热焦炭分别生成CO、CO₂。

则

则

（2）假设空气的体积为V，则同温、同压下，根据等体积定律，有

根据题（1）可知

（3）设空气为nmol，则

故

同理，由（1）题可知发生炉煤气为则：

22．在压力100 kPa时，当温度为1572℃时锑蒸气的密度是同温同压下空气密度的12.43倍，在温度为1640℃时，密度为同温同压下空气的11.25倍。

（1）用上述数据分别求出每一式量（1formula weight，即1 mol Sb）所能产生的蒸气的物质的量。

（2）假定锑蒸气中仅有和两种分子，试求各温度下，两种蒸气的摩尔分数。

解：（1）根据理想气体状态方程，可得。

同温同压下，

则在100kPa，1572℃条件下

根据质量守恒定律，有

同理，在1640℃时

（2）假设Sb₂的摩尔分数为，则Sb₄的摩尔分数为1－。

所以，在1572℃条件下

即蒸气Sb₂的摩尔分数为0.52，蒸气Sb₄的摩尔分数为1－0.52＝0.48。

同理，在1640℃条件下

即蒸气Sb₂的摩尔分数为0.66，蒸气Sb₄的摩尔分数为。

23．设在一垂直的柱体中充满理想气体，当高度为0和h时，气体的压力分别为P₀和P，试根据理想气体定律以及流体静力学原理（hydrostatic principle），即：任一密度为的流体，当高度增加bh时，其压力的减小值－dp等于单位横截面上该流体的重量（以力的单位表示之）。

（1）试证明对于理想气体，其表示式与Boltzmann公式相同；

（2）求高于海平面2000 m处的气压，假定在海平面的压力为100 kPa，且把空气看作是摩尔质量为29.0g/mol的单一物种。

解：（1）设在高度为h处气体的压力为p，高度处气体的压力为。已知其压力的减少值－dp等于单位横截面上该流体的重量，则

气体符合理想气体公式，把代入上式得

假设在0～h的高度范围内温度不变，对上式积分，

可得

表示式与Boltzmann公式相同。

（2）假设温度不变，T＝273K，根据Boltzmann公式，有

24．在地球表面干空气的组成用摩尔分数表示为：＝0.21,＝0.78,＝0.0094,＝0.0003,因空气有对流现象，故可假定由地球表面至11 km的高空，空气的组成不变。在此高度处的温度为－55℃。今假定在此高度以上空气的温度恒为－55℃，且无对流现象，试求

（1）在高于地球表面60 km处气体,,,的摩尔分数；

（2）该高度处的总压力。

解：（1）由题设可知，由地球表面至11 km的高空，空气的组成不变。设距地球表面11 km处空气压力为p₀，则各气体的分压为：

设高度为h时的压力为p，则

所以海拔60 km处各气体的压强为

则60 km处，各气体的摩尔分数为

（2）假定地球表面压力为100 kPa，温度为0℃，在11 km高空的温度为－55 ℃，取其平均温度为－27.5℃，在此范围内空气的组成不变，则11 km高空的压力p₀为

所以60 km高空的总压为

25．由于离心力的作用，在离心力场中混合气体的组成将发生变化。今有一长为80 cm的长管，管内装有等分子数的氢气和氧气的混合气体，将长管放置在一个水平盘上，管的中部固定在盘中垂直的中心轴上，今以每分钟3000转的速度使盘在水平面上旋转，并设周围环境的温度保持为20℃。

（1）求由于旋转的原因在管之两端，每一个氧气分子以及每一个氢气分子的动能。

（2）在达到平衡后，试根据Boltzmann公式分别计算两种气体在管端和管中央处的浓度比。

（3）假定设法保持在管之中心部位氢气和氧气的浓度比为1：1，总压力为100 kPa（例如在管的中部即旋转轴中心处，缓慢通入浓度比为1：1的氢气氧气混合气体），试计算平衡后在管端处氢气和氧气的摩尔比。（离心力，m为质点的质量，l是中心与管端的距离，是质量的角速度）

解：（1）因为，，所以。（m_i为O₂分子和H₂分子的质量）

（2）向心力为：类似于重力场，可以使用Boltzmann公式

（3）因为，则。