第八章 其他问题

一、年龄问题

年龄问题主要是和差问题和倍数问题的变形,题目多为已知某些人年龄之间的数量关系,求他们的年龄或者已知两人或若干人的年龄,求他们年龄之间的某种数量关系。

年龄问题核心知识点:随着时间的推移,两个人的年龄增加,且增加的数量相等,亦即年龄差始终不变;随着年龄的增加,两个人的年龄倍数关系也会发生变化,且会变小。

核心公式:

小年龄数×倍数=大年龄数;

年龄之和数÷(倍数+1)=小年龄数;

年龄之差数÷(倍数-1)=小年龄数;

(年龄之和数+年龄之差数)÷2=大年龄数;

(年龄之和数-年龄之差数)÷2=小年龄数。

1.年龄差问题

题型简述:两个人的年龄比较情况,往往涉及年龄倍数。

思路提示:将题目的条件全部转化为年龄差的性质,始终抓住年龄差作为研究对象,快速得解。

【例1】今年,小明的父母年龄之和是小明的6倍,4年后小明的父母年龄之和是小明的5倍。已知小明的父亲比母亲大两岁,那么今年小明的父亲多少岁?(  )

A.37  

B.40  

C.57  

D.72

【答案】A

【解析】这是一道关于年龄的问题,核心是年龄差不变。设现在小明x岁,则小明的父母年龄之和为6x岁,四年后小明为x+4岁,小明父母年龄之和为6x+8岁,由题意列方程:6x+8=5(x+4),解之得:x=12,6x=12×6=72,因为小明的父亲比母亲大2岁,则小明的父亲今年+1=37(岁)。

【例2】妈妈、姐姐、妹妹三人现在的年龄和是65岁。当妈妈的年龄是姐姐的年龄的3倍时,妹妹是6岁;当姐姐的年龄是妹妹的年龄的2倍时,妈妈的年龄是32岁。问:妹妹现在的年龄是多少岁?(  )

A.10 

B.11

C.14 

D.16

【答案】B

【解析】设妹妹6岁时,姐姐为x岁,则此时妈妈的年龄为3x岁;设妈妈年龄为32岁时,妹妹为y岁,则此时姐姐年龄为2y岁。由题意可知32-3x=2y-x,2y-x=y-6,联立两式得x=11,y=5。因此当妹妹6岁时,姐姐是11岁,妈妈是33岁,此时她们的年龄和为6+11+33=50(岁)。她们现在的年龄和为65岁,现在据妹妹6岁时已过了(65-50)÷3=5(年),则妹妹现在的年龄为6+5=11(岁)。

2.置换年龄问题

题型简述:给出两个人分别处于对方年龄时,对方的实际年龄,待求两人当前年龄。

思路提示:通过将总的时间长度进行分段来实现快速求解,也可以按照普通年龄问题的方法两步走、列方程求解。

【例3】甲、乙两人年龄不等,已知当甲像乙这么大时,乙8岁;当乙像甲这么大时,甲29岁。则今年甲的年龄为(  )岁?

A.22 

B.34    

C.36 

D.43

【答案】A

【解析】设甲、乙两个人现在的年龄分别是x、y岁,每个人每个时期的年龄如下表所示。由年龄差保持不变可知,x-y=y-8=29-x,则8、y、x、29成等差数列,即x、y将8岁到29岁的时间段平均分成三段,每段长度为7,因此y=8+7=15,x=29-7=22。

二、日期问题

日期问题是由历法产生的一类计数问题,其主要知识点如下表所示:

日期问题核心知识表

【例4】2003年8月1日是星期五,那么2005年8月1日是(  )。

A.星期一  

B.星期二 

C.星期三  

D.星期四

【答案】A

【解析】从2003年8月1日至2005年8月1日一共有:365+366=731(天),731/7的余数为3,因而答案为星期一。(注意:2004年有366天)

【例5】某一天小张发现办公桌上的台历已经有7天没有翻了,就一次翻了7张,这7天的日期加起来,得数恰好是77。问这一天是几号?(  )

A.14  

B.15 

C.16  

D.17

【答案】A

【解析】7天加起来数字之和为77,则平均数11这天正好位于中间,因为7天没有翻,那么应该翻过去的最后一天应该为14号,今天应该为15号。

三、费用、利润问题

费用、利润问题多涉及成本、售价、利润等之间的关系及其变化情况,方程法和赋值法是解决费用、利润问题的主要方法。

主要公式:售价=成本+利润

利润=售价-成本

利润率=利润÷成本=(售价-成本)÷成本=售价÷成本-1

成本=售价÷(1+利润率)

1.普通费用问题

给出售价、成本、利润之间的某种等量关系,利用方程法列出等量关系求解。

【例6】某公司向银行贷款,商定贷款期限是2年,利率10%,该公司立即用这笔贷款买一批货物,以高于买入价的35%的价格出售,两年内售完。用所得收入还清货款后,还赚了6万元,则这笔贷款是(  )元。

A.30万

B.40万 

C.45万 

D.50万

【答案】B

【解析】货款利率=年利率×年数,贷物出售总额=货款本息+剩余金额。依题意,设这笔货款x万元,则

x(1+35%)=x(1+2×10%)+6,解得x=40。

2.比例型费用问题

仅与比例相关的费用问题,若题目仅涉及两个或几个量之间的比例,给其中一个赋值,于是其他的量均可以得到合适的值,从而快速得解。

【例7】某年甲企业的利润比乙企业少200万元,甲、乙、丙三企业的利润之比为5:6:7,问该年丙企业的利润为多少万元?(  )

A.14000  

B.7000 

C.700 

D.1400

【答案】D

【解析】将甲企业的利润看作5份,乙企业的利润看作6份,丙企业的利润看作7份。显然,乙比甲多1份。已知甲企业的利润比乙企业少200万元,则可知道1份利润为200万元。所以丙企业的利润为200×7=1400(万元)。

3.前后变化型费用问题

题型简述:原定某种销售计划,中途出现变更,导致前后数值有变化。

思路提示:差额分析法。分别找出变化前后的情形及其差异,分析其中出现差异的原因,从而快速得解。

【例8】一个旅游团租车出游,平均每人应付车费40元。后来又增加了7人,这样每人应付的车费是35元,租车费是(  )。

A.2000元 

B.1960元  

C.1900元 

D.1850元

【答案】B

【解析】增加的7人分担的租车费用为35×7=245(元),其与原来人员减少的费用相等,即可知原来人数为245/(40-35)=49(人),因此,租车费为49×40=1960(元)。

4.价钱最优型费用问题

题型简述:对某个购买目标,有多家供应商可选,求最节省的购买方案。

思路提示:找到每一项的平均价钱最低者。在有优惠措施时,若总数能恰好被组内个数整除时,则该平均价钱最低者即为所求方案;若不能恰好被整除,则多余部分需选择单价最低者。特别需要注意,题目通常并不要求一类物品只能在一家购买。

【例9】某班有100个同学去公园划船。船有大、小两种,大船每船可乘12人,小船每船可乘8人。费用方面大船每船40元,小船每船30元。问费用最省需要(  )元钱。

A.60 

B.350 

C.340 

D.330

【答案】C

【解析】大船坐满人均为40/12,小船坐满人均30/8,前者小一些,所以在坐满的情况下优先安排大船。大船9只可以容纳整班人,费用为360元;大船8只,需加小船1只,此时费用为350元;大船7只,需加小船2只,此时费用为340元;大船6只,则需加小船4只,此时费用为360元,所以最省为340元。

5.利润问题

(1)售价=成本+利润,利润=售价-成本

【例10】商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的40%,现商场决定将加价幅度降低一半来促销,商品售价比以前降低了54元。问该商品原来的售价是多少元?(  )

A.324

B.270 

C.135 

D.378

【答案】D

【解析】设该商品进价为x元,则原来售价为1.4x,现在售价为1.2x,则有1.4x-1.2x=54,解得x=270,则原来售价是1.4x=270×1.4=378(元)。

(2)利润率=利润÷成本=(售价-成本)÷成本=售价÷成本-1,成本=售价÷(1+利润率)

有些题型比价复杂时,可能会通过利润率的变化来反向考查售价的变化。面对这类题型,一定要注意的是物品的成本一般是不会变化的。

【例11】某服装如果降价200元之后再打8折出售,则每件亏50元。如果直接按6折出售,则不赚不亏。如果销售该服装想要获得100%的利润,需要在原价的基础上加价多少元?(   )

A.90 

B.110 

C.130 

D.150

【答案】B

【解析】设该服装原价为x元,则有(x-200)×0.8+50=0.6x,得x=550,0.6x=330,由“如果直接按6折出售,则不赚不亏”可知,330元是成本价,想要获得100%利润,需要在原价的基础上加价2×330-550=110(元)

四、牛吃草问题

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场问题,该题型特点是某量以一定速度均匀增长,同时又以另一速度被均匀消耗。牛吃草问题模型实质上是增减平衡的问题,即有一方在消耗,一方又在生产,注意分清消耗和生产的两方分别对结果会产生什么样的影响。这类问题也可以套用到超市收银台结账、漏船排水、窗口售票等各种情况。

典型牛吃草问题通常给出不同头数的牛吃同一片草,这片草地既有原有的草,又有每天新长出的草,假设草的变化速度及原有存量不变,求若干头牛吃这片地的草可以吃多少天。

草原原有草量=(牛每天吃草量-每天长草量)×天数

【例12】牧场上长满牧草,每天牧草都均匀生长。这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天,则可供25头牛吃几天?(  )

A.5 

B.7  

C.6

D.8

【答案】A

【解析】假设每头牛每天吃的草为1,每天的长草量为x,最初的牧场总草量为y。则:

(10-x)×20=y 

(15-x)×10=y    

解方程得:x=5,y=100。

现在25头牛可以吃100/(25-5)=5(天)。

【例13】某招聘会在入场前若干分钟就开始排队,每分钟来的求职人数一样多,从开始入场到等候入场的队伍消失,同时开4个入口需30分钟,同时开5个入口需20分钟。如果同时打开6个入口,需多少分钟?(  )

A.8 

B.10 

C.12

D.15

【答案】D

【解析】假定原有人数为n、每分钟新增人数为x,则有n=(4-x)×30,n=(5-x)×20,解得x=2,

n=60,则6个入口所需时间为60÷(6-2)=15(分钟)。

五、钟表问题

钟表问题是指与钟表运动、或显示的时间相关的问题。主要涉及钟面基本知识、时针与分针的运动问题、坏表问题等问题。

1.钟表基本知识

求解这类问题要注重本身钟表所具有的性质、特征。其解题关键在于综合运用钟表上的常识,这些常识是试题的隐含条件。

(1)钟表上的常识主要包括:

时针一昼夜转2圈,分针一昼夜转24圈,分针与时针的转速之比为12:1,时针与分针的速度差为6-0.5=5.5°/分钟。

时针与分针一昼夜重合22次,垂直44次,成180°也是22次。

时针与分针成某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。

无论是标准表还是坏表,转速都是匀速的,只是速度不同而已。

(2)由于钟表本身的特殊性,求解这类问题时也有相关的解题技巧,分别为:

若考查的是钟表运动的问题,则要注意钟表中的时针与分针本身是在不停运动的,因此可以将钟表问题看成行程问题,运用行程问题的相关技巧来解题。

若考查的是分针与时针的角度问题,则要注意分析钟表位置关系对应的分针与时针所成的角度关系;这类题目也有可能考查特殊的角度关系,通过这些特殊的角度关系,要提取出题目所给的隐含条件。

坏表问题,找准坏表的“标准比”,然后按比例进行计算。

【例14】3点半时,分针和时针组成的锐角是多少度?(  )

A.90 

B.75  

C.85 

D.80

【答案】B

【解析】钟表一圈均分为12份,每份30º。三点半时时针在3.5处,分针在6处,所以二者的夹角为

(6-3.5)×30=75º。

【例15】有一只怪钟,每昼夜设计成10小时,每小时100分钟,当这只怪钟显示5点时,实际上是中午12点,当这只怪钟显示8点50分钟,实际上是什么时间?(  )

A.17点50分  

B.18点10分  

C.20点04分

D.20点24分

【答案】D

【解析】怪钟每昼夜的钟面时间长度为100×10=1000(分钟),而标准钟每昼夜的钟面时间长度为60×24=1440分钟,怪钟从5点走到8点50经过了3×100+50=350(分钟),设标准钟经过了x分钟,则有350:1000=x:1440,解得x=504,即标准时间经过8小时24分钟,则此时标准时间为20点24分钟。

2.追及时长问题

(1)题型简述

一般只涉及单个时钟,给出一个起始时刻或状态,待求多长时间后到达另一时刻或状态。

(2)思路提示

应用比例。将钟面的转圈过程理解为行程模型,易知分针与时针的速度始终为12:1,这说明在相同的时间内若时针走过的距离为1份,则分针走过的距离为12份,两者的距离之差为11份,两者的距离之和为13份,这是恒定的比例。利用此比例可得答案。

(3)比例技巧的特例

钟面上很多问题本质上是追及问题,根据上面分针、时针、两者之差之间的比例关系,我们可以给出如下公式:T=T0T0

其中T为题目待求的实际时间,即分针与时针达到目标状态所需的时间。而T0称为静止时间,也即假定时针不动,分针与时针达到目标状态所需的时间。

【例16】一只挂钟,每小时慢5分钟,标准时间中午12点时,将钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分,问再经过多长时间,该挂钟才能走到5点30分?(  )

A.20分

B.30分

C.40分    

D.50分

【答案】B

【解析】这只挂钟每小时慢5分钟,也就是当标准钟走60分时,这挂钟只能走60-5=55(分),即速度是标准钟速度的=因为每小时慢5分钟,标准钟从中午12点走到下午5点30分时,此挂钟共慢了

5×(17-12)=27(分),也就是此挂钟要差27分才到5点30分。此挂钟走到5点30分,按标准时间还要走27分,因为它的速度是标准时钟的,实际走完这27分所需要的时间应该是27÷=30(分)。

【例17】钟表的时针与分针在4点(   )分第一次重合。

A. 

B.

C. 

D.

【答案】A

【解析】解法一:4点过后两针重合,则重合时刻一定超过了20分,因此只可能是A项或者B项。又因为当时间是4点12分时,时针恰好落在21分的标线上,而此时时针与分针还未重合。因此当时间超过4点12分之后,时针的位置一定超过了21分的标线。

解法二:因为分针每小时走一圈即60小格,时针才走5小格,所以可设分针速度为60格/每小时,则时针速度为5格/每小时。于是原题变为一道追赶题,要求的就是分针要花多长时间赶上20格(4点时分针与时针的距离)。所需时间==(小时)=()分钟=(分钟)。

【例18】现在是12点32分,问再过多长时间时针和分针正好在一条直线上(不重合)?(  )

A.54分钟 

B.49分钟

C.32分钟 

D.65分钟

【答案】D

【解析】时针每分钟走0.5°,分针每分钟走6°。12点时,时针与分针重合;12点32分时,分针比时针多走了32×(6°-0.5°)=180°,即时针和分针在一条直线上且不重合。此后当分针比时针多走360°时,即经过32×2=65(分钟)后,二者再次在一条直线上且不重合。

六、周期问题

题型简述:给出一个或多个周期长度,待求某位置上的值。

思路提示:分类解决,若为单个周期,则每过一个周期,相应值不变,先将完整周期部分舍去;若为多个周期,先确定周期的最小公倍数。

【例19】已知昨天是星期一,那么过200天以后是星期几?(  )

A.星期一 

B.星期二 

C.星期六  

D.星期四

【答案】C

【解析】在解答这种类型的题目时,首先应该知道其基本原理是一个星期以7天为周期,不断循环。已知昨天是星期一,今天是星期二。先求200天里有多少个7天,200÷7=28…4,故有28个7天,还剩4天,所以200天后是从星期二开始过4天之后的日期,即星期六。

【例20】某部84集的电视连续剧在某星期日开播,从星期一到星期五以及星期日每天都要播出1集,星期六停播。则最后一集在星期几播出?(  )

A.星期日 

B.星期六 

C.星期五  

D.星期二

【答案】C

【解析】把从星期日到星期五这样的六天当作一个播放周期,主要考虑84集的连续剧可播出多少个周期零几天。由于84/6=14,可见这部连续剧恰可播14个周期,由于开播的那天恰是星期日,所以最后一集在星期五播出。

七、盈亏问题

把若干物体平均分给一定数量的对象,并不是每次都能正好分完。如果按某种标准分,则分配后会有剩余(盈);按另一种标准分,分配后又会有不足(亏)。求物品的数量和分配对象的数量,即盈亏问题。

解题技巧见下表:

【例21】学生春游到公园划船。如果在5条船上每船坐3人,其余的4人坐一船,则有5人无船可乘:如果在4条船上每船坐6人,其余的3人坐一船,则最后空着一条船无人乘。问共有船多少条?(  )

A.36 

B.9 

C.7   

D.18

【答案】B

【解析】此题需要进行条件转换。5条船上每船坐3人,剩下的船每船坐4人,还余5人,相当于每条船上正好坐4人;4条船上每船坐6人,其余的3人坐一条船,还余一条船,相当于每船坐3人,还剩9人无船可乘。这就转化成了常规的盈亏问题,有9÷(4-3)=9(条)船。

【例22】某单位招待所有若干间房间,现在安排一支考察队的队员住宿。若每间住3人,则有2人无房可住,若每间住4人,则有一间房间不空也不满。则该招待所的房间最多有(  )。

A.4间

B.5间  

C.6间

D.7间

【答案】B

【解析】将队员平均分到若干个房间,“若每间住3人,则有2人无房可住”说明分配后多了2人,“若每间住4人,则有一间房间不空也不满”说明不够分的,查了1~3人。本题属于“一盈一亏”问题。根据“一盈一亏”型问题公式,可得:房间数=(2+亏数)÷(4-3)=2+亏数。由上述分析,可知亏数最大为3,最小为1,因此房间最多有5间,最少有3间。

八、统筹规划问题

1.时间统筹问题

【例23】小明一家过一座桥,过桥时是黑夜,所以必须拿着唯一的灯过桥,现在小明过桥要1秒,小明的弟弟要3秒,小明的爸爸要6秒,小明的妈妈要8秒,小明的爷爷要12秒,每次过桥最多可过两人,而过桥的速度依过桥最慢者而定,而且灯在点燃后30秒就会熄灭。问小明一家过桥至少需要多长时间?(  )

A.30秒  

B.29秒 

C.19秒 

D.18秒

【答案】B

【解析】由题意可知,分为以下步骤:小明与弟弟过桥,3秒;小明拿灯回来,1秒;妈妈与爷爷过桥,12秒;弟弟拿灯回来,3秒;小明与爸爸过桥,6秒;小明拿灯回来,1秒;小明与弟弟过桥,3秒。则小明一家过桥至少需要3+1+12+3+6+1+3=29(秒)。

解决此类问题的核心思想是:优先安排最快的两个一起,然后安排最慢的两个一起。

2.统筹工效问题

【例24】一个产品生产线分为a、b、c三段,每个人每小时分别完成10,5,6件,现在总人数为71人,要使得完成的件数最大,71人的安排分别是(  )。

A.14:28:29  

B.15:31:25  

C.16:32:23  

D.17:33:21

【答案】B

【解析】方法一:A项错误,效率越低,人应越多,故14:28:29不符合。71人的安排为15:31:25时,三条生产线的量分别为150,155,150,可生产件数150;71人的安排为16:32:23时,三条生产线的量分别为160,160,138,可生产件数138;71人的安排为17:33:21时,三条生产线的量分别为170,165,126,可生产件数126。即生产件数最多为150,因此B项正确。

方法二:一个产品生产线分为a、b、c三段,a、b、c三段加一起才算一件,要使得完成的件数最大,就需要abc每段在每小时内完成的件数相等,设最后生产了x件产品,生产a、b、c部件需要的人数比为::=3:6:5,则71人按照这个比例分配,71÷(3+5+6)=5…1,因此隔断人数为3×5=15,5×5=25,6×5=30,剩下一人任意分配,其工作不影响最终的产品数量。

3.巧妙称量问题

用天平将一份物品分成若干份,问至少需要称几次。

解决这类问题,需灵活利用所给的砝码,巧妙称出各种重量。

【例25】有一架天平,只有5克和30克的砝码各一个。现在要用这架天平把300克味精分成三等份,那么至少需要称多少次?(  )

A.3次  

B.4次

C.5次

D.6次

【答案】A

【解析】第一次,用5克和30克的砝码称出35克味精;第二次,用35克味精和30克砝码,称出65克味精。则前两次得到35+65=100(克)味精。第三次用100克味精称出100克味精。

九、投影问题

投影问题研究物体高度与其在地面和墙上的投影长度之间的关系。

投影相关知识:某一时刻,物体在地面上投影满足一定比例,即“物体高度:地面影长”是一个定值;物体在垂直墙面上的投影影长等于其自身的高度。

【例26】阳光下,电线杆的影子投射在墙面及地面上,其中墙面部分的高度为1米,地面部分的长度为7米。甲某身高1.8米,同一时刻在地面形成的影子长0.9米。则该电线杆的高度为(  )。

A.12米 

B.14米  

C.15米  

D.16米

【答案】C

【解析】由题意可知,真实长度与影子长度之比为2:1,墙面部分的影子长度投影到地面上才是该部分真实的影子长度,即电线杆的影子总长为7+0.5=7.5(米),则电线杆的高度为7.5×2=15(米)。