第五章 几何问题

一、平面几何问题

1.周长问题

(1)周长公式

正方形C=4a(其中a为边长);

长方形C=2(a+b)(其中a、b分别为长方形的长、宽);

圆形C=2πR(其中R为圆的半径)。

(2)题型设置

规则的图形:直接利用图形的周长公式计算。

【例1】一个等腰三角形,一边长是30厘米,另一边长是65厘米,则这个三角形的周长是(  )。

A.125厘米

B.160厘米

C.125厘米或160厘米

D.无法确定

【答案】B

【解析】由三角形两边之和大于第三边可得,等腰三角形的腰长是65厘米。则三角形的周长是

65×2+30=160(厘米)。

【例2】半径为1厘米的小圆在半径为5厘米的固定的大圆外滚动一周,小圆滚了几圈?(  )

(  )

A.4圈

B.5圈

C.6圈

D.7圈

【答案】B

【解析】根据公式可知,周长比等于半径比,所以小圆滚动了5周。

不规则的图形

如果知道各个边长的长度,直接相加;如果不知道各个边长的长度,可以采用割补法,将图形变成一个比较规则的图形。

【例3】将半径分别为4厘米和3厘米的两个半圆如图放置,则阴影部分的周长是(  )。

A.21.98厘米

B.27.98厘米

C.25.98厘米

D.31.98厘米

【答案】B

【解析】阴影部分周长=大半圆半径+小半圆直径-大半圆半径+(大半圆弧长+小半圆弧长)=2×3+(3+4)×π=7π+6,π取3.14,则阴影部分的周长是27.98厘米。

2.面积问题

(1)规则的图形:直接利用图形的面积公式计算。常用的面积公式有

正方形S=a2(其中a为正方形的边长);

长方形S=ab(其中a、b分别为长方形的长、宽);

圆形S=πR2(其中R为圆形的半径);

三角形S=ah(其中h是边长为a的边所对应的高);

平行四边形S=ah(其中h是边长为a的边所对应的高);

梯形S=(a+b)h(其中a、b分别为梯形的上底、下底;h是梯形的高);

扇形S=(其中n是扇形的角,R是扇形的半径)。

【例4】有一个边长为2a的正三角形,将其各边中点相连得到第二个三角形,那么连接到第四次时,得到的三角形的面积为(  )。

A.a2

B.a2

C.a2

D.a2

【答案】B

【解析】由题意可知,该正三角形的边长为2a,则面积为a2;由于连接一次中点所得的三角形面积是原来三角形面积的,因此,连接到第四次时所得到的三角形面积S=a2××××a2

【例5】长方形ABCD的面积是72平方厘米,E、F分别是CD、BC的中点。问三角形AEF的面积为多少平方厘米?(   )

A.24 

B.27 

C.36 

D.40

【答案】B

【解析】△AEF可看作长方形依次去除周围三个三角形得到,△ABF为长方形的,AADE为长方形的,而△ECF为长方形的,则△AEF为长方形大小的,即其面积为27平方厘米。

【例6】把一个边长为4厘米的正方形铁丝框拉成两个同样大小的圆形铁丝框,则每个圆铁丝框的面积为(  )。

A.

B. 

C.  

D.

【答案】D

【解析】由题意可知,设圆铁丝框半径为r,则4×4=2×2πr,r=,则每个圆形丝框的面积为

【例7】如图所示,梯形ABCD的对角线AC⊥BD,其中AD=,BC=3,AC=,BD=2.1。问梯形ABCD的高AE的值是(  )。

A.

B.1.72  

C.

D.1.81

【答案】C

【解析】已知四边形的对角线相互垂直,则四边形的面积等于对角线乘积的一半。梯形的面积=

(AD+BC)×AE,得AE=

(2)不规则图形:给出的图形,并不规整,可以通过修改、增补图形中的某些部分,使得图形变为比较规整的、便于应用公式的图形。

【例8】在边长为2厘米的正方形里,分别以它的边长为直径画弧,如图所示,则四叶玫瑰型(阴影部分)的面积为(  )平方厘米。

A.2.86  

B.2.28  

C.2.14  

D.2

【答案】B

【解析】将正方形对角线连起来,看下面的半圆,外侧的阴影部分的面积等于圆形的面积,减去三角形的面积,即π×12/2-2×1/2=3.14/2-1=1.57-1=0.57;整个阴影部分的面积是0.57×4=2.28。

【例9】在右图的长方形中,长和宽分别是6cm和4cm,阴影部分的面积和是10cm2,四边形ABCD的面积为(  )平方厘米。

A.2 

B.4  

C.5 

D.8

【答案】B

【解析】SAGF=4×6÷2=12(cm2),它与阴影部分的面积和是12+10=22(cm2),而五边形HCEFG的面积是长方形HEFG的等于(cm2),所以四边形ABCD的面积是22-18=4(cm2

【例10】如图,三个圆的半径都是5cm,三个圆两两相交于圆心。求阴影部分的面积之和是(  ) 

A.29.25cm2

B.33.25cm2  

C.35.35cm2  

D.39.25cm2

【答案】D

【解析】将原图割补成下图:

阴影部分正好是一个半圆,面积为5×5×3.14÷2=39.25(cm2)。

3.角度问题

常用知识点:

三角形内角和为180°;

N边形内角和为(N-2)×180°;

任意封闭的凸多边形,外角和为360°。

【例11】N是正方形ABCD内一点,如果NA:NB:NC=2:4:6,则∠ANB的度数为(  )。

A.120° 

B.135° 

C.150° 

D.以上都不正确

【答案】B

【解析】过B作BN′⊥BN,且使BN′=BN,连接N′A,N′N,如下图所示,因为∠N′BN=∠ABC=90°,得∠N′BA=∠NBC。又因为AB=BC,BN′=BN,有△N′AB≌△NCB,则N′A=NC,设NB=4x,NC=N′A=6x。在直角△NBN′中,∠NN′B=45°,且NN′==4x,在△N′AN中,N′=N′,所以∠N′NA=90°,得∠ANB=135°。

二、立体几何问题

1.表面积问题

常用的表面积公式有:

正方体的表面积S=6a2(其中a正方体的边长);

长方体的表面积S=2ab+2bc+2ac(其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高);

球体的表面积S=4R2D2(其中R为球的半径;D为球的直径);

圆柱体的表面积S=2R2+2Rh(其中R为圆柱体底面圆的半径,h是圆柱体的高);

圆柱体的底面积S=2R2(其中R为圆柱体底面圆的半径);

圆柱体的侧面积S=2Rh(其中R为圆柱体底面圆的半径,h是圆柱体的高)。

【例12】如图,正四面体P-ABC的棱长为a,D、E、F分别为PA、PB、PC的中点,G、H、M分别为DE、EF、FD的中点,则三角形GHM的面积与正四面体P-ABC的表面积之比为(  )。

A.1:8

B.1:16

C.1:32

D.1:64

【答案】D

【解析】由题意可知:DE=EF=FD=棱长、DG=GE=EH=HF=FM=MD=GM=MH=HG,则

SGMHSDEF、SDEFSABC,即三角形GHM是四面体P-ABC表面积的

【例13】若在一个边长为20厘米的正方体表面上挖一个边长为10厘米的正方体洞,问大正方体的表面积增加了多少?(  )

A.100㎝2

B.400㎝

C.500㎝2  

D.600㎝2

【答案】B

【解析】在一个边长为20㎝的大正方体中挖去1个边长为10㎝的小正方体,则大正方体原有的6个面只有其中1个面的面积减少了100㎝2,而小正方体则多出了5个100㎝2的面,因此大正方体的面积增加了400㎝2

【例14】一个长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体盒子。一只瓢虫从盒子的任意一个顶点,爬到与该顶点在同一体对角线的另一个顶点,则所有情形的爬行路线的最小值是(  )。

A. 

B. 

C.  

D.

【答案】D

【解析】把纸盒由立体展为平面,有三种展开方式,如下图所示,其中瓢虫从一个顶点走向同一体对角线的最短距离为(厘米)。

【例15】相同表面积的四面体、六面体、正十二面体及正二十面体中体积最大的是(  )。

A.四面体 

B.六面体  

C.正十二面体 

D.正二十面体

【答案】D

【解析】相同表面积的空间几何图形,越接近于球,其体积越大。正二十面体是四个图形中最接近于球的立体几何图形,体积最大。

【例16】把一个64cm×40cm×24cm的长方体切成若干个完全相同的小正方体,并使这些小正方体的表面积总和最小。则小正方体的表面积总和为(  )。

A.73280cm2  

B.54680cm2

C.69450cm

D.46080cm2

【答案】D

【解析】要使这些小正方体的表面积总和最小,那么小正方体的边长要尽可能大。64、40、24的最大公约数为8,因此小正方体的边长为8cm,共有64×40×24÷83=120(块)。表面积总和为6×82×120=46080(cm2)。

2.体积问题

常用体积公式有:

正方体V=a3(其中a正方体的边长);

长方体V=abc(其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高);

球体V=R3D3(其中R为球的半径;D为球的直径);

圆柱体V=R2h(其中R为圆柱体底面圆的半径,h是圆柱体的高);

圆锥体V=R2h(其中R为圆锥体底面圆的半径,h是圆锥体的高)。

【例17】一间长250米、宽10米、高4米的仓库放置了1000个棱长为1米的正方体箱子,剩余的空间为多少立方米?(  )

A.0  

B.1500 

C.5000

D.9000

【答案】D

【解析】仓库的空间为250×10×4=10000(立方米),1000个箱子的体积为1000×=1000(立方米),则剩余空间为9000立方米。

【例18】一个底面面积为9π厘米的圆柱体,斜着截去一段后,截成的形体如图,一边高6厘米,一边高4厘米,它的体积是多少?(  )

A.45π

B.40  

C.  

D.36.5π

【答案】A

【解析】将所给类圆柱体再复制一个放到上面,恰好构成一个新圆柱体,新圆柱体高为6+4=10厘米,则它的体积是新圆柱体积的一半,为9×10÷2=45π(立方厘米)。

【例19】小曾做了一个长方体纸盒,所有棱长的和是120,长宽高的比是5:3:2,该长方体纸盒的体积是多少?(  )

A.810 

B.375 

C.288 

D.180

【答案】A

【解析】由题意可知,长+宽+高=120÷4=30,长宽高的比是5:3:2,所以该长方体纸盒的长为15,宽为9,高为6,体积=长×宽×高=15×9×6=810。

【例20】某个装有一层12听可乐的箱子,现在要向箱子中的空隙放入填充物,已知每听可乐直径为6㎝,高12㎝。则至少要向该箱子放多少填充物?(  )

A.835㎝3 

B.975㎝3

C.1005㎝3  

D.1115㎝3

【答案】D

【解析】由题意可知,恰好装满这12听可乐的箱子的底面积应为6×6×12=432(cm2),且要使填充物放得最少,则箱子要与可乐同高。至少要向该箱子放入432×12-9×12×12≈1115(cm3)的填充物。

3.正方体染色问题

题型简介:将一个大正方体表面染色,在切割成若干个相同的小正方体,求三面被染色、两面被染色、一面被染色或没有面被染色的小正方体的数目。

解题技巧:假设将一个立方体切割成边长为原来的1/n的小立方体,在表面染色,则:

(1)三个面被染色的是8个顶角的小立方体;

(2)两个面被染色的是12(n-2)个在棱上的小正方体;

(3)只有一个面被染色的是6(n-2)2个位于外表面中央的小正方体;

(4)都没被染色的是(n-2)3个不在表面的小立方体。

【例21】一个边长为8的正立方体,由若干个边长为1的正立方体组成,现在要将大立方体表面涂漆,请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色?(  )

A.296 

B.324 

C.328  

D.384

【答案】A

【解析】边长为8的正立方体共有8×8×8=512(个)边长为1的小正立方体,不在表面的小正立方体共有

6×6×6=216(个),所以被染色的小正方体的个数为512-216=296(个)。

三、几何性质问题

1.几何极限理论

平面几何图形在周长相同的情况下,其形状越接近于圆,面积越大;

平面几何图形在面积相同的情况下,其形状越接近于圆,周长越小;

立体几何图形在表面积相同的情况下,其形状越接近于球,体积越大;

立体几何图形在体积相同的情况下,其形状越接近于球,表面积越小。

【例22】在下列a、b、c、d四个等周长的规则几何图形中,面积最大和最小的分别是(  )。

A.a和c  

B.d和a  

C.b和d    

D.d和c

【答案】D

【解析】周长与边数、面积的关系是周长相同则边数越少面积也越小,越趋近于圆,面积越大。

2.等比例放缩性质

一个几何图形其尺度变为原来的m倍,则:

对应周长变为原来的m倍

对应面积变为原来的m2

对应体积变为原来的m3

【例23】正六面体的表面积增加96%,则棱长增加多少?(  )

A.20% 

B.30% 

C.40% 

D.50%

【答案】C

【解析】设增加后的棱长为x,原来的棱长为1,则面积增加为=0.96,x=1.4,则棱长增加了40%。

3.三角形性质

在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;

【例24】一个三角形的两条边的长分别是a、b,且a>b,那么这个三角形的周长L的取值范围是:(  )。

A.3a>L>3b 

B.2(a+b)>L>2a

C.2a+b>L>2b+a

D.3a-b>L>2+2b

【答案】B

【解析】根据题意,设第三边为c,则有a-b<c<a+b,所以2a<L<2(a+b)。

4.圆的性质

若两圆相离,则不存在交点,有四条公切线;若外切,存在一个交点,有三条公切线;若相交,有两个交点,两条公切线;若内切,有一个交点,有一条公切线;若内含,一个圆完全在一个圆内,无公切线。

【例25】若半径不相等的两个圆有公共点,那么这两个圆的公切线最多有(  )。

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

【答案】C

【解析】由题意可知,这两个圆相交或相切,当它们相交时,有2条公切线;当它们内切时,有1条公切线;当它们外切时,有3条公切线。因此这两个圆的公切线最多有3条。

【例26】3颗气象卫星与地心距离相等,并可同时覆盖全球地表,现假设地球半径为R,这3颗卫星距地球最短距离为(  )。

A.R 

B.2R 

C.R

D.R

【答案】A

【解析】设地球为球形,三颗气象卫星位于以地球为内切圆的等边三角形的三个顶点,由直角三角形中30°角的性质可知,气象卫星距离地心的距离为2R,则气象卫星距离地球的最近距离为R。