2.2　典型题（含考研真题）详解

一、选择题

1．试将圆筒壁的热阻与同材料、同厚度的平壁的热阻进行比较，如果温度条件相同，而平面的面积等于圆筒壁的内表面，则（　　）是正确的。[湖南大学2006研]

A．平壁的热阻较小

B．平壁的热阻较大

C．二者的热阻相等

D．缺少条件，不好比较

【答案】B

【解析】设该材料的导热系数为，平壁的面积为A，圆筒的长度为l，圆筒内壁的直径为，圆筒和平壁的厚度为，则圆筒外壁的直径为。因为平面的面积等于圆筒壁的内表面，则。

平壁的导热热阻为：。

圆筒壁的导热热阻为：。

圆筒壁的导热热阻与平壁的导热热阻之比为：。

数学分析：令，。时，。且时，。所以当时，，即。

所以，。

由此可见，平壁的热阻较大。

二、填空题

1．肋壁总效率的数学表达式为_____________。[浙江大学2006研]

【答案】，其中，为两个肋片之间的根部表面积，为肋片的表面积，为肋效率。

2．肋效率的定义是____________，当肋片高度为________时肋效率达到。[浙江大学2005研]

【答案】实际散热量与假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量的比值；零

3．如图2-1所示的双层平壁中的稳态温度分布判断两种材料的导热系数相对大小为____________。[浙江大学2005研]

图2-1

【答案】

【解析】分别考虑材料A和B的导热，可以看作是单层平壁导热问题，根据傅里叶定律可得：。

由题图可知：。

由此可得：。

4．导热微分方程的推导依据是_________和________。直角坐标下一维，非稳态、无内热源导热问题的导热微分方程可以表示成_____________。[浙江大学2004研]

【答案】傅里叶定律；能量守恒定律；

5．如果测的通过一块厚50mm的大木板的热流密度为，木板两侧的表面温度分别为40℃和20℃，则该木板的导热系数为________；若将加热热流密度提高到，该木板的一侧表面温度为25℃，则另外一侧的表面温度应为_________。[浙江大学2004研]

【答案】；

【解析】根据傅里叶定律可知，把、、代入，计算可得木板导热系数为：。

当时，木板两侧温度差为：。

因为木板一侧的表面温度为，因而另外一侧的表面温度为。

6．描述导热物体内部温度扯平能力的物性量叫_________，它由_______物性量决定，其定义式为_________。[浙江大学2001研]

【答案】热扩散率；物体的导热系数、密度、比热容；

7．确定导热微分方程的定解条件中有边界条件，常用的有三种：

第一类边界条件为__________________________；

第二类边界条件为__________________________；

第三类边界条件为__________________________。[浙江大学2001研]

【答案】规定了边界上的温度值；规定了边界上的热流密度值；规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数以及周围流体的温度。

三、名词解释

1．肋片效率和肋壁总效率。[重庆大学2005研]

解：肋片效率表征单个肋片散热的有效程度，它的物理意义是实际散热量与假设整个肋片表面处于肋基温度下的散热量之比。

肋壁总效率是表征整个肋壁散热的有效程度，它的物理意义是整个肋壁的实际散热量与假设整个肋壁均处于肋基温度下的散热量之比。

2．接触热阻。[东南大学2002研]

答：如图2-2所示，两个名义上互相接触的固体表面，实际上接触仅发生在一些离散的面积元上，在未接触的界面之间的间隙中充满空气，热量将以导热的方式穿过这种气隙层。这种情况下与两固体表面真正完全接触相比，增加了附加的传递阻力，称为接触热阻。

图2-2

四、简答题

1．试说明推导导热微分方程所依据的基本定律。[华中科技大学2005研]

答：能量守恒定律和傅里叶定律。

2．请写出直角坐标系中，非稳态，有内热源，常导热系数的导热微分方程表达式，并说明表达式中各项的物理意义。[北京科技大学2007研]

答：。其中，方程左边的项以及方程右边的第一项表示微元体热力学能的增量，方程右边的第二项表示微元体内热源的生产热。

3．简述影响导热系数的因素。[东南大学2002研]

答：导热系数的影响因素很多，主要取决于物质的种类、物质结构与物理状态，此外温度、密度、湿度等因素对导热系数也有较大的影响。其中温度对导热系数的影响尤为重要。

4．试解释材料的导热系数和导温系数之间有什么区别和联系。[浙江大学2004研]

答：（1）导热系数

导热系数的定义式由傅里叶定律的数学表达式给出：。它在数值上等于单位温度梯度作用下物体的热流密度矢量的模。导热系数是物质的一个重要热物性参数，表征物质导热能力的大小。

（2）导温系数

导温系数又称热扩散率，定义式为：。它是衡量材料温度变化能力大小的指标。

（3）导热系数和导温系数之间的区别和联系

①导热系数与导温系数都是材料的物性参数，而且导温系数的大小与导热系数相关。

②导热系数表征物质导热能力的大小；而导温系数是衡量材料温度变化能力大小的指标。

5．写出肋效率的定义。对于等截面直肋，肋效率受哪些因素影响？[华中科技大学2006研]

答：肋效率的定义：肋表面的实际散热量与假设整个肋表面处于肋基温度时的散热量的比值。对于等截面直肋，，其中，影响因素：材料的导热系数，肋表面的换热系数h，肋片高度等尺寸。

6．在圆管外表加装肋片，就一定能够增强传热吗？为什么？[华中科技大学2004研]

答：不一定。

因为在圆管外加装肋片同时具有减小表面对流传热热阻及增加导热热阻两种相反的作用，所以并不能说一定增强传热。

7．常物性、无内热源的稳态导热方程中不包含任何物性量，这是否说明导热物体中的温度分布与导热物体的物性无关，为什么？[西安交通大学2005研]

答：常物性、无内热源的导热微分方程公式是导热微分方程的一般形式的简化结果，公式中只有在物体的导热率为常数时，才能简化为。若导热系数不为常数，则上式便不成立。故上式不能说明物体中的温度分布与物性无关。

8．定性绘出在稳态导热条件如图2-3所示物体内的温度分布并说明理由。设物体导热系数为常数。[西安交通大学2004研]

图2-3

答：图略。稳态导热有，沿x方向面积A逐渐增大，而稳态导热时为定值，可知逐渐减小。即沿方向温度梯度逐渐减小，温度变化趋于平缓。

9．用套管式温度计测量管道中流体的温度，为减小测温误差。

（1）若有铜和不锈钢两种材料，用哪一种做套管较好？为什么？

（2）将套管温度计安装在图2-4中①、②、③哪个位置较好？为什么？[西安交通大学2003研]

图2-4

答：（1）用不锈钢材料做套管较好。

温度计套管产生误差的主要原因是由于沿肋高（即套管长度方向）有热量导出。因而要减小温度计套管的测温误差，可以选择导热系数小的材料，增加导热热阻，故选不锈钢。

（2）套管温度计安装在②处比较好。

因为流体在流过②处时，由于离心力的作用，在横截面上产生了二次环流，增加了扰动，从而强化了换热，对应的h增加，从而使测温误差减小。

10．采用套管式温度计测量流体温度时为什么会产生测温误差?如何减小测温误差?

答：（1）产生测温误差主要有下列原因：

①温度计的感温泡与套管顶部可能存在接触热阻和导热热阻；

②套管顶端向根部导热；

③套管外表面向流场壁面的辐射换热；

④流体与套管外表面的对流换热热阻。

稳态时，套管从流体获得的对流热流量正好等于套管向根部的导热和与壁面间的辐射换热量之和。

（2）减小测温误差的措施：

①加强测温套管附近流场壁面的保温；

②采用尽量长的测温套管；

③选用导热系数小的材料做测温套管；

④在强度允许的情况下，尽量采用薄壁套管；

⑤尽量提高流体与套管的对流换热表面传热系数，并注意不使测温套管端部处于流动死角；

⑥在不影响对流换热的条件下，在测温套管外安装遮热板以减少与流场壁间的辐射换热。

11．何为肋片有效度？热水流过一根管子将热能传至流过管子外表面的空气，为增强换热，应将肋片装在管子的内表面还是外表面上？请给出理由。[中国科学院2009研]

解：肋片有效度是指肋片散热量与没有肋片时肋基处的散热量之比，其表达式为

由于管外侧的对流换热系数较小，由上式可知，从强化换热角度考虑，应在管外侧表面上添加肋片。

12．描述物体内部导热机理的物理模型有哪些？它们分别描述哪些物质内部的导热过程？[浙江大学2005研]

答：导热是由于微观粒子的扩散作用形成的。迄今为止，有三种描述物质内部导热机理的物理模型。

（1）分子的热运动：描述气体和液体内部的导热过程。

（2）晶格振动形成的声子运动（声波辐射）：描述非导电固体和液体内部的导热过程。

（3）自由电子的运动：描述导电固体内部的导热过程。

13．冰箱冷冻室内结霜使冰箱耗电量增加，试分析其原因。

答：冰箱冷冻室内结霜使冰箱耗电量增加是因为冰箱中制冷剂在蒸发管内蒸发，吸收冷冻室的热量，使冷冻室降低到指定的温度后，压缩机停止工作。冷冻室内结霜后，蒸发管和冷冻室间增加了一层热阻，制冷剂蒸发温度降低，压缩比增大，耗电量增加。

14．冬天，房顶上结霜的房屋保暖性能好，还是不结霜的好?

答：（1）同样的室温条件下，房顶上结霜的房屋保暖性能好。

（2）原因：结霜屋顶的热阻更大，使得其外表面温度较低，因而保暖性能好。

五、计算题

1．无限大平壁的壁厚及两侧表面的温度均已知，材料的导热系数对温度的依变关系为，式中和均为常数值。请导出平壁导热热流密度的计算式。 [国防科技大学2004研]

解：根据傅里叶定律，热流密度的表达式为

等式两边同乘，并且积分可得

把代入上式，可得

计算整理可得平壁导热热流密度的计算式为

2．某管道外径为2r，外壁温度为t₁，外包两层厚度均为δ（δ₂＝δ₃＝r），导热系数分别为λ₂和λ₃（λ₂＝2λ₃）的保温材料，外层外表面温度为t₂。如将两层保温材料的位置对调，其他条件不变，保温情况如何变化?由此能得出什么结论?

解：（1）该问题为第一类边界条件下的多层圆筒壁导热问题。

设各层直径分别为d₁，d₂，d₃，则＝2，＝。由式

整理变形可得

导热系数大的在里面

导热系数大的在外面

（2）结论：在保温厚度相等的条件下，导热系数大的材料放在外层对保温更有利，同等条件下可减小热损失19％。

3．试在t-x坐标图上画出厚为的无限大平板一维稳态导热温度分布曲线并简扼解释之。已知。平板材料导热系数为，式中b＞0。[上海交通大学2002研]

解：根据材料导热系数与温度的关系式：，可知：材料导热系数λ随着温度的降低而降低。

对于无限大平板一维稳定导热问题，对于大平板任意截面的热流密度是相等的。所以根据傅里叶定律可知：随着温度的降低而增大。

因而，对于无限大平板的一维稳定导热的温度分布曲线如图2-5所示。

图2-5

4．一个厚度7cm的平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，内热源。对流换热表面传热系数为，平壁的导热系数为。试确定平壁内温度分布、最高温度及其位置。 [东南大学2002研]

解：本问题的模型示意图如图2-6所示。

图2-6

本问题可以看成是常物性、稳态、具有内热源的一维稳态导热问题，因而导热微分方程为

解该方程可得

　  ①

边界条件，在处：；

由此可以确定：。

在处，根据热平衡关系

把该式代入导热微分方程可得

把、、、℃、代入上式，可得

显然，根据①式，或者模型示意图可知，当处，℃。

综上，平壁上最高温度在处，为℃。

5．如图2-7所示，长30cm的铜杆，两端分别坚固地连接在平壁上，一端壁温保持200℃，另一端壁温保持90℃。空气横向掠过铜杆，表面传热系数维持，杆的直径12mm，空气温度38℃，铜杆的导热系数。求铜杆散给空气的净热损失是多少？[华北电力大学2005研]

图2-7

解：本问题的模型示意图如图2-8所示。

图2-8

导热微分方程为

因此有

解得

所以

6．一无限大平壁厚，导热系数常量，内热源产热率均匀，且为常数，已知两壁面温度分别保持、。求①出现在平壁内部的最高温度；②从两壁面传出的热流密度值（或热流量）。[中国科学技术大学2000研]

解：（1）本问题属于具有内热源、一维稳态导热问题，因而导热微分方程为

解该微分方程，可得

边界条件为：，；，。

把边界条件代入上式，可得积分常数为

当时，平壁内部的最高温度为

（2）根据傅里叶定律可知：。因而，从两壁面传出的热流密度值分别为

①当时，；

②当时，。

7．一个半径为R的实心球，初始温度为，突然将其放入液体温度为的恒温槽内冷却。已知球的导热系数、密度和比热容c、球壁表面与液体的表面传热系数h，试写出球体冷却过程的数学描述。[国防科技大学2005研]

解：首先分析半径为，厚度为的微元球壳的导热。根据球壳导热计算公式，有

因为，则上式可化简为

从而可得微元球壳的净导热为

（忽略二阶小量）

又微元球壳内热源的内能增量为，再根据能量守恒，可得导热微分方程为

边界条件为

8．如图2-9所示，一厚度为10mm，导热系数为50W/（m·K）的不锈钢板，两维持固定温度50℃，已知钢板两端之间的距离为20cm，在垂直纸面方向很长。钢板上表面绝热，下表面有20℃的空气缓慢流动，对流表面传热系数为32W/（m²·K），试导出此钢板的导热微分方程，求解所导出的方程得出温度分布，并求出钢板中心的温度值。双曲函数的相关数值如表2-1所示。[华中科技大学2004研]

图2-9

解：由于对称性，此问题等效为原厚度两倍，长度一半的肋片问题。

有能量守恒

，式中，为截面积。

则有

令，为过余温度

得微分方程为

边界条件为：；。

微分方程通解为

确定常数：；。

得：，，。

温度分布为

 处：℃。

钢板中心温度为

℃

9．为测定管道内蒸汽的温度，在管道壁安装了套管温度计，套管直径为20mm，长70mm，壁厚2mm，套管材料导热系数为46.5W/（m·K），蒸汽管道壁温为50℃，蒸汽与套管间的对流换热表面传热系数为116W/（m²·K）。若温度计指示温度为155℃，试确定蒸汽的真实温度。

解：套管温度计可视为一个空心等截面直肋，由于温度计的感温泡与套管顶部直接接触，可以认为温度计的读数就是套管顶端的壁面温度t_H。温度计套管与周围环境之间存在着3种方式的热量传递：

①通过套管壁从端部向基部的导热；

②与蒸汽之间的对流换热；

③与蒸汽管内壁面之间的辐射换热。

稳态时，对流换热获得的热量应等于导热量和辐射换热量。因此，套管端部温度必然低于蒸汽温度，这就是存在测温误差的原因。