第1章 波函数与Schrödinger方程

1.1 复习笔记

一、波函数的统计诠释

1.实物粒子的波动性

de Broglie(1923)提出了实物粒子(静质量m≠0的粒子,如电子)也具有波粒二象性(wave-particle duality)的假设,即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长λ和频率ν为

并称之为物质波(matter wave).

2.波粒二象性的分析

(1)包括波动力学创始人Schrödinger,de Broglie等在内的一些人,他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构,即看成三维空间中连续分布的某种物质波包.物质波包的观点显然夸大了波动性一面,而实质上抹杀了粒子性一面,是带有片面性的.

(2)与物质波包相反的另一种看法是:波动性是由于有大量电子分布于空间而形成的疏密波.它夸大了粒子性一面,而实质上抹杀了粒子的波动性一面,也带有片面性.

然而,电子究竟是什么东西?是粒子?还是波?电子既是粒子,也是波,它是粒子和波动两重性矛盾的统一.但这个波不再是经典概念下的波,粒子也不再是经典概念中的粒子.

3.概率波,多粒子体系的波函数

把粒子性与波动性统一起来.更确切地说,把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来的是M.Born(1926)提出的概率波.

表征在r点处的体积元中找到粒子的概率.这就是Born提出的波函数的概率诠释.它是量子力学的基本原理之一.

根据波函数的统计诠释,很自然要求该粒子(不产生,不湮没)在空间各点的概率之总和为1,即要求波函数ψ(r)满足下列条件

这称为波函数的归一化(normalization)条件.

归一化条件就可以简单表示为

(ψ,ψ)=1

4.动量分布概率

动量分布概率密度即

5.不确定性原理与不确定度关系

不管粒子处于什么量子态下,它的位置(坐标)和动量不能同时具有完全确定的值,这就是Heisenberg的不确定性原理,上式是它的数学表示式,它是波粒二象性的反映.

6.力学量的平均值与算符的引进

称为动量算符.

l是一个矢量算符.它的三个分量可以表示为

一般说来,粒子的力学量A的平均值可如下求出

是与力学量A相应的算符.如波函数未归一化,则

与经典Hamilton量H=T+V相应的算符表示为

7.统计诠释对波函数提出的要求

统计诠释赋予了波函数确切的物理含义.根据统计诠释,究竟应对波函数ψ(r)提出哪些要求?

(1)根据统计诠释,要求|ψ(r)|2取有限值似乎是必要的,即要求ψ(r)取有限值.

(2)按照统计诠释,一个真实的波函数需要满足归一化条件(平方可积)

但概率描述中实质的问题是相对概率.因此,在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数.

(3)按照统计诠释,要求|ψ(r)|2单值.是否由此可得出要求ψ(r)单值?否.

(4)波函数ψ(r)及其各阶微商的连续性.

二、Schrödinger方程

1.Schrödinger方程的引进

在势场V(r)中的粒子的波函数满足的微分方程,称为Schrödinger波动方程,它揭示了微观世界中物质运动的基本规律.

2.Schrödinger方程的讨论

(1)定域的概率守恒

对于一个粒子来说,在全空间中找到它的概率之总和应不随时间改变.即

(1)

(1)式为概率守恒的微分表达式,其形式与流体力学中的连续性方程相同.

(2)初值问题,传播子

Schrödinger方程给出了波函数(量子态)随时间演化的因果关系,取初始时刻为t,则t时刻波函数可以表示为

式中

称为传播子(propagator).可以证明

就是t时刻在r点找到粒子的概率波幅.

3.能量本征方程

以下讨论一个极为重要的特殊情况——假设势能V不显含t(经典力学中,在这种势场中的粒子的机械能是守恒量).

其中ψE(r)满足下列方程:

(2)

在有的条件下,特别是束缚态边条件,只有某些离散的E值所对应的解才是物理上可以接受的.这些E值称为体系的能量本征值(energy eigen value),而相应的解ψ(r)称为能量本征函数(energy eigen unction).方程(2)就是势场V(r)中粒子的能量本征方程,也称为不含时(time-independent)Schrödinger方程.

不同的能量本征值相应的本征函数是正交归一化的(设E取离散值),即

Schrödinger方程的更普遍的表示是

4.定态与非定态

若在初始时刻(t=0)体系处于某一个能量本征态ψ(r,0)=ψE(r),则

(4)

形式如式(4)的波函数所描述的态,称为定态(stationary state).处于定态下的

粒子具有如下特征:

(1)粒子在空间的概率密度ρ(r)= |ψ(r)|2以及概率流密度j显然不随时间改变

(2)任何(不显含t的)力学量的平均值不随时间改变.

(3)任何(不显含t的)力学量的测量概率分布也不随时间改变.

由若干个能量不同的本征态的叠加所形成的态,称为非定态(non stationary state).

5.多粒子体系的Schrödinger方程

设体系由N个粒子组成,粒子质量分别为mi(i=1,2,3,…,N).体系的波函数表示为ψ(r1 ,…,rN,t).设第i个粒子受到的外势场为Ui(ri),粒子之间相互作用为V(r1 ,…,rN,t),则Schrödinger方程表示为

其中

而不含时Schrödinger方程表示为

E为多粒子体系的能量.

三、量子态叠加原理

1.量子态及其表象

当ψ(r)给定后,三维空间中一个粒子所有力学量的测值概率分布就确定了.从这个意义上来讲,ψ(r)完全描述了一个三维空间中粒子的量子态.所以波函数也称为态函数.

2.量子态叠加原理,测量与波函数坍缩

(1)设体系处于ψ描述的态下,测量力学量A所得结果是一个确切直a1(ψ1也称为A的本征态,A的本征值为a1).又假设在ψ2态下,测量A得的结果是另一个确切值a2(ψ2也是A的一个本征态,本征值为a2).则在

所描述的状态下,测量A所得结果,既可能为a1,也可能为a2(但不会是另外的值),而测得结果为a1或a2的相对概率是完全确定的.我们称ψ态是ψ1态和ψ2态的相干叠加态.

(2)按照von Neumann的看法,量子态坍缩(collapse)即在测量过程中,粒子的状态从叠加态坍缩成为某一能量本征态ψ.