第2部分
考点直击

第1章 函数 极限 连续

1.1 函数

1.1.1 考点综述和解题方法点拨

1．利用已知条件求函数的表达式

2．函数的性质：有界性、周期性、奇偶性与单调性

（1）周期性主要用于三角函数．

（2）f（x）在区间D上有界　∀x∈D，∃M（≥0），总有｜f（x）｜≤M.

f（x）在区间D上无界　∀M（＞0），∃x0∈D，有｜f（x0）｜＞M.

（3）基本初等函数：

常函数　y=c；

幂函数　y=xn（n∈R）；

指数函数　y=ax（a＞0，且a≠1）；

对数函数　y=logax（a＞0，且a≠1）；

三角函数　y=sinx/cosx/tanx/cotx/secx/cscx；

反三角函数　y=arcsinx/arccosx/arctanx/arccotx.

初等函数　由基本初等函数经过有限次四则运算或复合且能用一个式子表达的函数．

1.1.2 竞赛例题

1．求函数的表达式

例1　设f（x）满足，求f（x）.

解　令g（x）=sinf（x），则，

上述式子相加，得

｜g（x）｜=｜sinf（x）｜≤1，所以.而.

因此，，于是

例2　已知f（x）是周期为π的奇函数，且当时，f（x）=sinx-cosx+2，则当时f（x）=________.

解　因f（x）为奇函数，所以时，有

f（x）=-f（-x）=-（sin（-x）-cos（-x）+2）=sinx+cosx-2.

又因为f（x）的周期为π，所以当x∈时，

f（x）=f（x-π）=sin（x-π）+cos（x-π）-2=-sinx-cosx-2.

例3　已知f′（0）存在，求满足的函数f（x）.

解　因为，所以令x=y=0，得f（0）=0.

变形为，对方程两侧从0到x积分，得arctanf（x）=f′（0）x．于是，f（x）=tan［f′（0）x］.

1.1.3 模拟练习题1-1

1．已知f（x）=sinx，f［g（x）］=1-x2，则g（x）的定义域为________.

2．设［x］表示不超过x的最大整数，则y=x-［x］是________.

A．无界函数

B．周期为1的周期函数

C．单调函数

D．偶函数

3．求，的值域，并求它的反函数．

4．设f（x）满足f2（lnx）-2xf（lnx）+x2lnx=0，且f（0）=0，求f（x）.

5．设，求f（x）.