第四届全国大学生数学竞赛预赛（2012年非数学类）

试题

一、解答下列各题（本题共5个小题，每题6分，共30分）（要求写出重要步骤）

1．求极限.

2．求通过直线L：的两个相互垂直的平面π1和π2，使其中一个平面过点（4，-3，1）.

3．已知函数z=u（x，y）eax+by，且，确定常数a和b，使函数z=z（x，y）满足方程

4．设函数u=u（x）连续可微，u（2）=1，且在右半平面与路径无关，求u（x）.

5．求极限.

二、（10分）计算.

三、（10分）求方程的近似解，精确到0.001.

四、（12分）设函数y=f（x）的二阶导数连续，且f″（x）＞0，f（0）=0，f′（0）=0，求，其中u是曲线y=f（x）在点P（x，f（x））处的切线在x轴上的截距．

五、（12分）求最小的实数C，使得满足的连续的函数f（x）都有.

六、（12分）设F（x）为连续函数，t＞0．区域Ω是由抛物线z=x2+y2和球面x2+y2+z2=t2（t＞0）所围起来的部分．定义三重积分

求F（t）的导数F′（t）.

七、（14分）设与为正项级数．

（1）若，则收敛；

（2）若，且发散，则发散．

参考答案

一、1．解　因为，而

所以

即

2．解　过直线L的平面束为

λ（2x+y-3z+2）+μ（5x+5y-4z+3）=0，

即

（2λ+5μ）x+（λ+5μ）y-（3λ+4μ）z+（2λ+3μ）=0，

若平面π1过点（4，-3，1），代入得λ+μ=0，即μ=-λ，从而π1的方程为

3x+4y-z+1=0，

若平面束中的平面π2与π1垂直，则

3（2λ+5μ）+4（λ+5μ）+1（3λ+4μ）=0.

解得λ=-3μ，从而平面π2的方程为x-2y-5z+3=0.

3．解

故

若使，只有

即a=b=1.

4．解　由得（x+4u3）u′=u，即，方程通解为

由u（2）=1得C=0，故.

5．解　因为当x＞1时，

所以.

二、解　由于

应用分部积分法

所以

当nπ≤x＜（n+1）π时，

令n→∞，由夹逼准则，得

注　如果最后不用夹逼准则，而用

需先说明收敛．

三、解　由泰勒公式有

令得，代入原方程得

由此知x＞500，，

所以，x=501即为满足题设条件的解．

四、解　曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线方程为

Y-f（x）=f′（x）（X-x），

令Y=0，则有，由此，且有

由f（x）在x=0处的二阶泰勒公式

得

故

五、解　由于.

另一方面，取fn（x）=（n+1）xn，则，而

因此最小的实数C=2.

六、解法1　记，则Ω在xy面上的投影为x2+y2≤g.

在曲线上任取一点（x，y，z），则原点到该点的射线和z轴的夹角为．取Δt＞0，则θt＞θt+Δt．对于固定的t＞0，考虑积分差F（t+Δt）-F（t），这是一个在厚度为Δt的球壳上的积分．原点到球壳边缘上的点的射线和z轴夹角在θt+Δt和θt之间．我们使用球坐标变换来做这个积分，由积分的连续性可知，存在α=α（Δt），θt+Δt≤α≤θt，使得

这样就有．而当Δt→0+时

故F（t）的右导数为

当Δt＜0时，考虑F（t）-F（t+Δt）可以得到同样的左导数．因此

解法2　令

其中a满足a2+a4=t2，即.故有

从而有

注意到，第一个积分为0，我们得到

所以.

七、证　（1）设，则存在N∈N，对于任意的n≥N，有

因而的部分和有上界，从而收敛．

（2）若，则存在N∈N，对于任意的n≥N，有，于是

于是由发散，得到发散．