数学的进展
中世纪的欧洲学者们游历四方，其中的一部分人掌握了阿拉伯语。英国巴斯的哲学家阿德里亚地（约1080～1160年）就是诸多将阿拉伯语作品译为拉丁语的高产的翻译家中的一个。在1142年，他完成了古希腊数学家欧几里得《几何原本》的翻译，第一次把这部欧几里得的传世著作介绍给了欧洲人。
他也翻译了阿拉伯数学家阿布·扎法·伊本缪萨·阿尔科瓦利兹米（约780～850年）绘制的天文图，复制了其使用的阿拉伯数字。在1145年，来自英国切斯特的学者罗伯特首次翻译了阿尔科瓦利兹米的《利用还原与对消运算的简明算书》，用音译法引入了“代数学”和“运算法则”这两个词语。
尽管阿德里亚地和罗伯特都使用新的数字，但真正对它们着迷的当数意大利数学家莱奥纳多·斐波纳契（约1170～1250年），斐波纳契出生在意大利中部的一个重要商业中心城市——比萨，致力于研究商业应用数学，在1202年发表的《算经》一书中，他解释了数字的使用规则。斐波纳契还概述了在数字体系中应用位值概念的优越性。正是他首先使用了分数线（用一斜杠来区分分子与分母，如1/4）。他也研究几何和数列，其中包括现在以他名字命名的斐波纳契数列：1，1，2，3，5，8，13，21（在这个数列中，每个数值都等于它前面2个数字之和）。在1494年，被誉为会计学奠基人的意大利教士卢卡·帕西欧利发明了复式簿记的登记方法，并在其出版的《算法、几何及比率等运算中部分细节的探讨》一书中对该方法进行了介绍。
所有早期的数学作品都是面向学者或者商人的。第一本关于数学的英文普及读物是英国学者罗伯特·瑞克德（约1510～1558年）撰写的《艺术的基石》，这本书于1543年完稿及出版，并在此后的150年间被不断重印出版。1557年，罗伯特·瑞克德成为第一个使用等号（“=”）的人；加号和减号则是由德国学者首先使用的。数学家们使用代数等式。在拉丁文中未知数被称为“cosa”，德语则是“Coss”。到了1591年，法国政治家兼律师弗朗斯瓦·维耶特撰写了《分析的艺术》一书，他用元音字母表示未知量，用辅音字母表示已知量，写出了现代数学家也能理解的第一个方程式，因此被称做“代数之父”。然而数学对维耶特而言不过是一项兴趣爱好，他最辉煌的成就是在法国与西班牙战争期间作为法国国王亨利四世的侍臣破译了西班牙菲利浦二世使用的密码。
知识档案
1142年 欧几里得的《几何原本》被翻译成拉丁文
1145年 阿尔科瓦利兹米（约公元780～850年）的《利用还原与对消运算的简明算书》被翻译成拉丁文
1202年 斐波纳契在《算经》一书中解释了阿拉伯数字的使用规则
1494年 出现复式簿记
1543年 英文版《艺术的基石》出版，这是第一本关于数学的普及读物
1585年 出现小数
1591年 使用字母来表示代数等式中的量
1594年 发明自然对数
1614年 自然对数表被发表
1617年 内皮尔发明“内皮尔骨”
1619年 小数点被发明
1622年 计算尺被发明
1624年 常用对数表被发明
知识档案
算盘
“算盘”也称“计数盘”，一般认为起源于约16世纪的中国，是一直沿用至今的最古老的算盘形式。它不但能用来加、减、乘、除，还可以进行更为复杂的数学演算，例如计算分数和开平方根。它是由9根棍子固定在一个方形的木框中构成的，一根横木条将木框分为不相等的两部分。每根棍子上都有5颗珠子在下半框，2颗在上半框。任意取一根串珠棍作为个位，它的左边的棍子就依次是十位、百位、千位等等，在它右边的棍子依次就是十分位、百分位、千分位等等。0～4的数字用下半框的珠子表示，其余的5个数字就需要上半框的珠子来表示了（注：上半框的一个珠子代表5），例如数字8就用上半格1个珠子和下半格3个珠子来表示。
与此同时，苏格兰莫切斯顿的男爵约翰·内皮尔正在紧张地发明一种骇人的武器，以保卫苏格兰免受西班牙的袭击。然而袭击事件并没有发生，许多人都因此认定内皮尔神经不正常。但不论其正常与否，内皮尔仍是杰出的数学家。在1594年，内皮尔发明了一种运算方法——所有数字都用指数函数表示，譬如4=22。乘法因此成了一项关于指数相加的运算，如22×23=25，而除法也仅需要将指数相减。他称指数表达式为“对数”，意指成比例的数字，并于1614年公布了以e（自然对数，是个无限小数——2.71828……）为底数的对数表。
内皮尔对数（又称自然对数）沿用至今。然而一位牛津大学的几何学教授，也是内皮尔的仰慕者——亨利·布瑞格斯指出，取10而不是e作底数将使运算更简便，因为这样log10=1，而log1=0。布瑞格斯发明了“常用”对数。在1624年，他公布了从1到100000的对数表。他还发明了应用于长除法的现代计算方法。
西蒙·史蒂文（约1548～1620年）是一位佛兰德物理学家、工程师和数学家。1585年，他首次提出了十进制记数法，但内容上并不完整。直至30年后约翰·内皮尔引入小数点这一符号，才使小数得到充分应用。
内皮尔极渴望能加快计算速率，1617年他带来了个人的第三个创新——“内皮尔骨”。它们是些笔直的棍子，每支都相应刻有乘法表。使用者按一定规则将它们排列组合后，任何繁冗的乘法计算即成为简单的加法。改进后的工具可旋转，其内部安放了12个圆柱体“骨头”。
大约在1622年，英国数学家威廉·奥特瑞德（1574～1660年）发明了“计算尺”。在20世纪后叶电子计算器被发明以前，数学家和工程师们一直使用计算尺来计算对数。奥特瑞德在两把尺身上标记了对数刻度，凭借另一把尺在计算时的机械移动来获取结果。在一本1631年出版的书中，奥特瑞德还引入“×”符号来标记乘法，用“：”标记比例。