1.4　资金等值计算的基本公式

根据支付方式和等值换算点的不同，资金等值计算公式可分为一次支付类型、等额支付类型和变额支付类型。本节主要介绍一次支付类型和等额支付类型，对于变额支付类型主要介绍一下均匀梯度类型。

1.4.1　一次支付类型

（1）一次支付终值公式（已知P，求F）

假设在某一时间点上，有一笔资金P，计息期利率为i，复利计息，则到n期末的本利和为多少？其现金流量图如图1-6所示。

根据式（1-6），应为：

Fn=P（1+i）n

因此，该公式又称作一次支付终值公式，可以表示为Fn=P（F/P，i，n），其中，（1+i）n或（F/P，i，n）称作一次支付终值系数。

公式中的系数（F/P，i，n）可以从复利系数表中查出。

【例1-10】　现在把1000元存入银行，银行年利率为10％，计算5年后该笔资金的实际价值。

解　已知P=1000，i=10％，n=5，求F。

由式（1-6）得：

Fn=P（1+i）n=1000×（1+10％）5=1610.51（元）

即1000元资金在年利率为10％时，经过5年以后变为1610.51元，增值610.51元。

【例1-11】　甲公司向乙公司借款100万元，借期2年，年利20％，到期一次还清，计复利，问到期甲公司向乙公司偿还本利和多少？

解　已知P=100，i=20％，n=2，求F。

由式（1-6）得：

Fn=P（1+i）n=100×（1+20％）2=144（万元）

【例1-12】　某建筑公司进行技术改造，2008年初贷款100万元，2009年初贷款200万元，年利率8％，2011年末一次偿还，问共还款多少元？

解　先画现金流量图，见图1-7所示。

则

所以，4年后应还款387.99万元。

（2）一次支付现值公式（已知F，求P）

如果计划n年后积累一笔资金F，利率为i，问现在一次投资P应为多少？这个问题相当于已知终值F，利率为i和计算期数n，求现值P。即将某一时点（非零点）的资金价值换算成资金的现值（零点处的值）。其现金流量图如图1-8所示。

由式（1-6）可求出：

P=F（1+i）-n　　（1-7）

式（1-7）可以表示为P=F（P/F，i，n），其中（1+i）-n和（P/F，i，n）称作一次支付现值系数。

公式中的系数（P/F，i，n）也可在复利系数表中查出。

【例1-13】　假使你希望第4年末得到800元的存款本息，银行每年按5％利率付息，现在你应当存入多少本金？

解　P=F（1+i）-n=800（1+0.05）-4=800×0.8227=658.16（元）

【例1-14】　某企业2年后需要资金5万元（2年后一次支付），现应存入多少钱，银行的年利率为10％。

解　P=F（1+i）-n=5（1+10％）-2=4.13（万元）

【例1-15】　某公司对收益率为15％的项目进行投资，希望8年后能得到1000万元，计算现在需要投资多少？

解　先画现金流量图，如图1-9所示。

P=F（1+i）-n=1000（1+15％）-8=327（万元）

1.4.2　等额支付类型

等额支付是指所分析的系统中现金流入与现金流出可在多个时间点上发生，而不是集中在某一个时间点，即形成一个序列现金流量，并且这个序列现金流量数额的大小是相等的。它包括以下四个基本公式。

（1）等额支付序列年金终值公式（已知A，求F）

等额支付序列年金终值涉及的问题是：在一个时间序列中，在利率为i的情况下连续在每个计息期的期末支付一笔等额的资金A，求n年后由各年的本利和累积而成的总值F，也即已知A，i，n，求F。类似于我们平常储蓄中的零存整取。其现金流量图如图1-10所示。

由图根据一次支付终值公式可得：

F=A+A（1+i）1+A（1+i）2+…+A（1+i）n-1

根据等比数列求和公式，可得：

　　 （1-8） 　　

式（1-8）即为年金终值（未来值）公式，也可表示为F=A（F/A，i，n），其中或（F/A，i，n）称作年金终值系数。

【例1-16】　某夫妇每月末存入银行20元，月利率为8‰，求一年期本利和多少。

解　已知A=20元，i=8‰，n=2。

【例1-17】　某公路工程总投资10亿元，5年建成，每年末投资2亿元，年利率为7％，求5年末的实际累计总投资额。

解　已知A=2，i=7％，n=5，求F。

此项目资金现金流量图见图1-11。第5年虚线表示需要收入多少才能与总投资相持平。

F=A（F/A，i，n）=2×（F/A，7％，5）=2×5.7507=11.5（亿元）

此题表示若全部资金是贷款得来，需要支付1.5亿元的利息。

（2）偿债基金公式（已知F，求A）

其含义是为了筹集未来n年后所需要的一笔资金，在利率为i的情况下，求每个计息期末应等额存入的资金额，即已知F，i，n，求A，类似于我们日常商业活动中的分期付款业务，其现金流量图如图1-12所示。

由式（1-8）可得

　　 （1-9） 　　

式（1-9）即为偿债基金公式，也可表示为A=F·（A/F，i，n），公式中，系数或（A/F，i，n）称为偿债基金系数，它与年金终值系数互为倒数。

【例1-18】　若要在8年以后得到包括利息在内的300万元的资金，利率为8％的情况下，每年应投入（或存储）的基金为多少？

解　已知F=300，i=8％，n=8，求A=？

　　 则 　　

【例1-19】　某企业打算五年后兴建一幢5000m2的住宅楼以改善职工居住条件，按测算每平方米造价为800元。若银行利率为8％，问现在起每年末应存入多少金额，才能满足需要？

解　已知F=5000×800=400（万元），i=8％，n=5，求A=？

A=F·（A/F，i，n）=400×（A/F，8％，5）=400×0.17046=68.184（万元）

所以，该企业每年末应等额存入68.184万元。

①年金现值公式（已知A，求P）其含义是在n年内每年等额收支一笔资金A，在利率为i的情况下，求此等额年金收支的现值总额，即已知A，i，n，求P，类似于实际商务活动中的整存零取。其现金流量图如图1-13所示。

类似于年金终值公式的计算推导，年金现值的计算可以利用数列求和得出，也可以利用年金终值公式与折现的概念，直接由年金终值公式推导得出。

由式（1-7）以及式（1-8）可得：

　　 （1-10） 　　

式（1-10）为年金现值公式，也可表示为P=A·（P/A，i，n），其中，系数（P/A，i，n）或称作年金现值系数。

【例1-20】　在未来的15年中的每年末取回8万元，现需以8％的利率向银行存入现金多少呢？

解　已知A=8万元，i=8％，n=15，求P=？

　　 则 　　

【例1-21】　某建筑公司打算贷款购买一部10万元的建筑机械，利率为10％。据预测此机械使用年限10年，每年平均可获净利润2万元。问所得净利润是否足以偿还银行贷款？

解　已知A=2万元，i=10％，n=10，求P是否大于或等于10万元？

P=A·（P/A，i，n）=2·（P/A，10％，10）=2×6.1445=12.289（万元）>10万元

②资金回收公式（已知P，求A）其含义是指在期初一次投入资金数额为P，欲在n年内全部回收，则在年利率为i的情况下，求每年年末应该等额回收的资金，即已知P，i，n，求A。其现金流量图如图1-14所示。

资金回收公式可由偿债基金公式与一次支付终值公式推导得出：

　　 （1-11） 　　

式（1-11）称作资金回收公式，可表示为A=P（A/P，i，n），式中，系数或（A/P，i，n）称作资金回收系数。

资金回收系数是年金现值系数的倒数。资金回收系数是一个重要的系数。其含义是对应于工程方案的初始投资，在方案寿命期内每年至少要回收的金额。在工程方案经济分析中，如果对应于单位投资的每年实际回收金额小于相应的预计资金回收金额，就表示在给定利率i的情况下，在方案的寿命期内不可能将全部投资回收。

【例1-22】　某华侨为支持家乡办厂，一次投资100万美元，商定分5年等额回收，利率定为年利10％，求每年回收多少美元。

解　已知P=100万美元，i=10％，n=5，求A=？

【例1-23】　某人要购买一处新居，一家银行提供20年期年利率为6％的贷款30万元，该人每年要支付多少？

解　已知P=30万元，i=6％，n=20，求A=？

A=P（A/P，i，n）=30（A/P，6％，20）=30×0.0872=2.62（万元）

【例1-24】　某建设项目的投资打算用国外贷款，贷款方式为商业信贷，年利率20％，据测算投资额为1000万元，项目服务年限20年，期末无残值。问该项目年平均收益为多少时不至于亏本？

解　已知P万元，i，n，求A？

A=P（A/P，i，n）=1000（A/P，20％，20）=1000×0.2054=205.4（万元）

所以，该项目年平均收益至少应为205.4万元。

（3）均匀梯度支付类型

均匀梯度支付系列的问题是属于这样一种情况，即每年以一固定的数值（等差）递增（或递减）的现金支付情况。如机械设备由于老化而每年的维修费以固定的增量支付等。这种情况的现金流量图如图1-15所示。

第一年末的支付是A1，第二年末的支付是A1+G，第三年末的支付是A1+2G，…，第n年末的支付是A1+（n-1）G。我们把图1-15的均匀梯度支付系列现金流量图分解成由两个系列组成的现金流量图：一个是等额支付系列，年金为A1（如图1-16所示）；另一个是0，G，2G，…，（n-1）G组成的梯度系列（如图1-17所示）。

上述第一种情况是我们熟悉的，于是，剩下的就是寻求图1-17梯度系列的解决途径了。

设等额支付系列的终值为F1，梯度系列的终值为F2，根据图1-17，梯度系列的终值F2为

　　 （1-12） 　　

用符号表示，上式可以写成：

式中，或（F/G，i，n）为定差终值系数。

均匀梯度支付系列的现值和等值年金的计算，可以在式（1-12）的基础上，再按一次支付和等额支付系列的公式进一步求解。

比如，均匀梯度支付现值的计算公式为：

　　 （1-13） 　　

式中，或（P/G，i，n）为定差现值系数。

均匀梯度支付等值的年金公式为

　　 （1-14） 　　

式中，或（A/G，i，n）为定差年金系数。

对于递减支付系列（即第一年末支付为A1，第二年末支付为A1-G，等等）的情况，只需改变相应项的计算符号，即将其每年增加一个负的数额，仍可应用式（1-12）～式（1-14）进行计算。

【例1-25】　某类建筑机械的维修费用，第一年为200元，以后每年递增50元，服务年限为十年。问服务期内全部维修费用的现值为多少？（i=10％）

解　已知A1=200元，G=50元，i=10％，n=10年，求均匀梯度支付现值P=？

由式（1-13），有：

【例1-26】　设某技术方案服务年限8年，第一年净利润为10万元，以后每年递减0.5万元。若年利率为10％，问相当于每年等额盈利多少元？

解　已知A1=10万元，递减梯度量0.5万元，i=10％，n=8年，求均匀梯度支付（递减支付系列）的等值年金A？

1.4.3　基本公式小结及注意事项

上面介绍了复利计算的一次支付、等额支付和均匀梯度支付系列基本公式，现汇总如表1-4所示。

运用上述公式要注意的问题如下：

①方案的初始投资，假设发生在寿命期初；

②寿命期内各项收入或支出，均假设发生在各期的期末；

③本期的期末即是下一期的期初；

④P是在计算期的期初发生；

⑤寿命期末发生的本利和F，记在第n期期末；

⑥等额支付系列A，发生在每一期的期末；

⑦当问题包括P，A时，P在第一期的期初，A在第一期期末；

⑧当问题包括F，A时，F和A同时在最后一期期末发生；

⑨均匀梯度系列中，第一个G发生在第二期期末。