4.4　负数表示方法

前面介绍的是正数的表示方法。但是，在日常的计算过程中，计算机也会大量地遇到负数的情况。例如：对于5-3的减法运算，可以写成5+（-3）。这样，减法运算就变成了加法运算。但是，正数变成了负数。

在数字系统中，用于执行算术运算功能的部件经常需要处理负数。所以，必须要定义一种表示负数的方法。一个字长为N位的二进制系统（如计算机）总共可以表示2N个十进制整数，可以使用2N/2个二进制数表示十进制的非负整数（包括零和正整数），使用2N/2个二进制数表示十进制的负整数。在实际的数字系统（如计算机）中，将N位字长的二进制数中的一个比特位用作一个符号位，以区分正数和负数。通常，将N位字长二进制数的最高有效位（Most Significant Bit，MSB）作为符号位。当MSB取值为1时，该二进制数表示十进制的负数；当MSB取值为0时，该二进制数表示十进制的正数。

在所有可能的负数二进制编码方案中，经常使用符号幅度表示法和二进制补码表示法。

4.4.1　符号幅度表示法

当采用符号幅度表示法时，N位字长二进制数的MSB表示符号位，剩下的N-1位表示幅度，如图4.1（a）所示。对于一个字长为8位的二进制数来说，当采用符号幅度表示法时，十进制的正整数16用二进制数表示为00010000，而十进制的负整数-16用二进制数表示为10010000。这种表示方法，比较直观并且很容易理解。

但是，符号幅度表示法用在数字系统中表示负数时，最不利的方面体现在：

（1）最大的正整数将出现在二进制数所表示范围近一半的地方，后面紧跟着负零，然后是最大的负整数，如图4.1（a）所示。

（2）最小的负整数出现在二进制数可表示范围的末尾，如图4.1（a）所示。很明显，在最小的十进制负整数（-127）后面，由于二进制数位宽（字长）的限制，最小的十进制负整数-127（二进制表示为11111111）将回卷到正零（二进制表示为00000000）。由于从最小的十进制负整数-127将跳变到正零，出现了表示数的不连续问题。

（3）在幅度符号表示法中，二进制数00000000表示为正零（符号位为0表示正数），10000000表示为负零（符号位为1表示负数）。因此，出现了对零这个整数的两种不同表示方法。

因此，一个更好的负整数表示方法应该将最大的负整数、零和最小的正整数放在相邻的位置，即数的表示应具有连续性，并且消除对零的两种不同表示方法。

4.4.2　补码表示法

由于符号幅度表示法存在明显的缺陷，因此引入了二进制补码表示法，如图4.1（b）所示。在采用二进制补码表示法时，MSB仍是符号位，MSB取值为1表示负数，MSB取值为0表示正数。在这种表示法中，整数0只由一个N位字长的全零二进制数表示，因此消除了在幅度符号表示法中对整数0的两种不同表示方法。在补码表示法中，除了零以外，其余的2N-1个数表示正整数和负整数。由于2N-1是奇数，而个二进制数表示十进制数中的负整数，其余的个二进制数表示十进制数中的正整数。换句话说，可以表示的十进制负整数比可以表示的十进制正整数要多一个数。在该例子中，由于使用8位字长的二进制数表示十进制整数，因此可以表示的十进制负整数范围是-128~-1，可以表示的十进制正整数的范围是+1~+127，此外还包含一个十进制整数0。

采用二进制补码表示负数唯一的缺点就是不直观，但是消除了符号幅度表示法所存在的所有缺陷。因此，在实际的数字系统中通常采用二进制补码来表示负数。对于一个字长为N位的二进制数来说，其可以表示的十进制整数的范围是：-2N-1~2N-1-1。