在欧洲或西方传统过去2500年的大部分时间里，研究几何是因为，几何被认为是除了天启之外，人类所能拥有的最为精致、完美、堪为典范的真理。在某种方式上，几何彰显了物理世界最深刻的真实本质。

——波希—霍尔（Piers Bursill-Hall），

《我们为何要学几何？》

几何是什么？许多人认为它不过是高中时的一门课，一套测量直线之间的夹角，计算三角形、圆形、矩形面积的技巧，或者是建立不同物体之间是否相似或全等的度量方式。但即使采用这么有限的定义，几何也无疑是一项有用的工具：比方说，建筑师就天天用得着。这些当然是几何的范畴，但几何远不止于此，因为确实在建筑的最广义层次上，从至微到至巨的尺度，全都离不开几何。而对于像我这样，着迷于理解空间的尺寸、形状、曲率和结构的人而言，几何更是一项重要的工具。

“Geometry”（几何）这个字源自于“geo”（地）和“metry”（测量），原意是指“测量土地”。不过我们现在更广义地用它来指测量空间，而空间本身则又不是一个明确定义的概念。诚如黎曼所云，“几何预设了空间的概念，并假定了空间构造的基本原理”，然而同时也赋予“这些事物仅仅名义上的定义”。[1]

虽然听来奇怪，但是让空间概念保持模糊是很有用的，因为它可以把很多我们难以命名的概念蕴含在内，所以暧昧反而能够带来某些便利。例如，当我们思索空间有多少维度，或是考虑空间的整体形状时，或许我们所指的也是整个宇宙。空间可以狭义地定义成只是指一个简单的几何构造，如点、线、面或甜甜圈之类中小学生常会画的图形；或者，空间也可以更抽象、更复杂，而且远远更难描绘。

比方说，假如你有一堆点，以某种复杂、混乱的配置方式散布开来，而且毫无办法判定各点之间的距离，对数学家而言，这个空间就没有几何结构，它们只是一群随机组成的点。然而，一旦加入称为“度规”（metric）的测量函数，以计算任意两点间的距离，那么你就突然有了一个可以在其间游移的空间，拥有明确定义的几何构造。换句话说，一旦空间有了度规，就具备让该空间成形的所有信息。一旦掌握这种测量能力，就可以非常精确地决定空间是否平坦，或者计算它偏离完全平坦的程度（称为曲率），这是我觉得最有趣的东西。

除非你认定几何不过是一把调校精准的直尺（这么说并非看轻直尺，我可是非常欣赏这项科技的），否则的话，几何是我们探索宇宙的主要大道之一。物理学和宇宙学，就它们的研究课题而言，对于理解宇宙是绝对必要的。几何在此的角色乍看之下并不那么明显，但却是同等重要的。我甚至认为，几何不仅能和物理学与宇宙学在同一基础上平起平坐，从许多方面来看，它就是基础。

因为你瞧，这整出宇宙大戏——粒子、原子、星辰和其他物质的复杂舞蹈，不断地游移、运动与相互作用——都是在同一个舞台上演出，或可说，在一个“空间”之内上演。如果不能掌握空间的详细特征，便不能真正理解这出戏。空间不仅仅是被动的背景，它其实赋予了宇宙最重要的内禀属性。事实上，就我们现在的理解，在空间中静止或移动的物质或粒子，其实就是空间（更精确地说是时空）的一部分。几何可以对时空、对物理系统整体给出限制，而这些限制是单纯从数学和逻辑的原理就可以推导出来的。

以地球的气候为例。虽然乍看之下并不明显，但气候是受到几何的深刻影响的，在此，最重要的因素是地球的形状是球形的，假如我们是住在二维的环面上，生命以及气候就会大为不同。正如第1章所提到过的，在球面上，风不能都往同一方向吹（例如都往东吹），海水不能都往同一方向流。必定会有某些地方，例如南、北极，风向或者洋流不是朝向东。“东”的观念在南、北极彻底消失了，所有运动在此都停止下来。但是单洞环面的情形就不一样了，上面并没有类似的停滞点，气流和海水全都可以毫无阻碍地朝向同一方面流动。（这种差别无疑会影响全球的循环模式，但若你想知道气候变化的种种细节，而且对球面和环面上的生活进行季节性比较，你还是得请教大气科学家。）

几何的应用范围还不仅止于此。例如，在爱因斯坦广义相对论的架构中，几何学已证明宇宙的物质和能量是正值，因此我们存身的四维时空是稳定的。几何原理也告诉我们，宇宙中必定存在一些称为“奇点”（singularity）的地方，例如黑洞的中心，在此物质密度会趋于无穷大，已知的物理性质不再适用。再以弦论为例，许多重要物理现象会发生在称为卡拉比—丘流形的奇特六维空间，卡拉比—丘流形的几何性质可以解释为何宇宙会有现在这许多基本粒子，不只决定它们的质量，也决定了它们之间的作用力。不仅如此，对这类高维空间的研究或许还能说明引力为何远比其他作用力微弱，同时也为宇宙诞生之初的暴胀机制，或现在推动宇宙扩张的暗能量等问题提供解答线索。

所以，当我说几何可与物理学和宇宙学等量齐观，都是解开宇宙奥秘的无价工具时，我并不是空口吹嘘。而且，随着下文将会提到的数学进展，再加上观测宇宙学的进步和弦论的到来（后者试图达成物理理论从未完成的大融合），这三个领域似乎同时汇聚在一起。结果人类知识如今正热切地向前推进，正要跨越重大突破的门槛，而在许多探索方向上，几何都担任了开路先锋的角色。