- 农业保险中的精算模型研究
- 肖宇谷
- 691字
- 2021-03-26 08:50:44
1.2 费率与产量变异系数的单调性研究
虽然大家都知道产量的变异系数是风险的一个测度,但大家并不清楚产量的变异系数与费率的精确关系。
例如,如果产量服从Gamma分布G(y; α, β),根据产量保险的定价公式(1.2)和表1.1有
其中,。而产量的变异系数为,我们无法判断其与费率P的关系。
本节证明了对于正态分布、Lognormal分布和Gamma分布,费率P与产量变异系数的关系是单调递增的函数关系。图1.1显示了单产服从正态分布时,费率与变异系数的关系。定理1.2给出了这个结果的具体证明。
图1.1 单产服从正态分布时,费率与变异系数的关系
这个结果的意义是:它解释了实证中逆向选择与产量变异系数的关系,它为费率确定找到了一个合适的简单代理,我们可以明确地使用产量变异系数来作为费率分区的依据。
定理1.2 假设单产随机变量Y 服从表1.1中的正态分布、Lognormal分布或Gamma分布。若Y 有均值 E(Y)>0,标准差和变异系数,则式(1.2)中的费率为变异系数cv的单调增函数。
证明:(1)Y若服从正态分布N(μ, σ2),则由表1.1知费率满足如下方程:
其中,。对P(x)求导数,可得
即P(x)关于x单调递增。
(2)Lognormal分布LN(μ, σ2), σ>0。因为σ=[ln(cv2+1)]1/2,所以参数σ是cv的单调增函数。另外可以证明费率P(σ)是参数σ的单调增函数,所以费率也是cv的单调增函数。事实上,根据
即费率P(σ)是参数σ的单调增函数。
(3)两参数Gamma分布G(y; α, β), α>0, β>0。由表1.1知费率满足如下方程:
其中,。令u=βs,经过变量代换,P(α, β)可以重写为
因为α=1/cv2,如果费率P(α)是参数α的单调减函数,则P(α)是cv的单调增函数。事实上,令-,则
令fα(u)=0, u≤0, , u>0,则fα+1(λα)=λfα(λα),可得
根据Letac和Paine(1992)469页知
其中,,交换积分次序可得
费率P(α)是参数α的单调减函数,定理得证。