4.1 点的投影

点是构成立体的最基本的几何元素。要迅速而又准确地画出物体的投影、图示与图解空间几何问题，就必须首先掌握最基本几何元素的投影规律和投影特性。

4.1.1 点的两面投影

1．点在两投影面体系中的投影

点在某一投影面上的投影，是过该点向投影面所作垂线的垂足。因此，点的投影依然是点。如图4.1所示，空间点A在H面上的投影是过点A作垂直投射线与H面的交点a，这个投影是唯一确定的。但反之，由点的单面投影a却不能唯一确定点A的空间位置，这是因为位于投射线上的每一个点（如点A1）的投影都在a处。这就是说，点的一面投影不能唯一确定点在空间位置。

要确定点在空间的位置，需要有点的两面投影。如图4.2（a）所示，在由水平投影面H及正立投影面V所形成的两投影面体系中，过空间点A分别向H面及V面作垂直投射线，Aa交H面于a, Aa′交V面于a′, a及a′即为空间点A的两面投影。A称为点A的水平投影，a′称为点A的正面投影。投射线Aa和Aa′所决定的平面与V面及H面垂直相交，交线分别是a′aX和aaX。V面和H面的交线，即投影轴OX必垂直于矩形平面Aa′aXa，同时也垂直于该平面上的a′aX和aaX，因此∠a′aX X=∠aaX X=90°。将V、H两投影面展开，V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°，使其与V面重合，就得到图4.2（b）所示的点A的两面投影图。在投影图上，两面投影的连线a′aXa成为一条垂直于OX轴的直线。投影图中，轴线及投影连线均用细实线画出，点用细实线空心圆表示。

投影理论中约定：空间点用大写字母（如A、B、C、…）表示，其水平投影用相应的小写字母（如a、b、c、…）表示，其正面投影用相应的小写字母并在右上角加一撇（如a′、b′、c′、…）表示。

2．点的两面投影规律

（1）点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX。

（2）点的水平投影到OX轴的距离等于空间点到V面的距离，点的正面投影到OX轴的距离等于空间点到H面的距离，即aaX=Aa′、a′aX=Aa。

根据点的两面投影可以唯一确定点的空间位置。方法是：将H面向上旋转复位与V面垂直，自a点引H面的垂线，自a′点引V面的垂线，两垂线的交点即为空间点A。

4.1.2 点的三面投影

为完整表达形体的形状，通常要画出三面投影图。点作为构成形体最基本的几何元素，也要画出三面投影图。

1．点的三面投影

三投影面体系是在两投影面体系的基础上，增加一个与H面和V面都垂直的侧立投影面W所组成。设在三投影面体系中有一点A，过点A分别向3个投影面作垂直投射线，投射线与投影面的交点分别记为a、a′、a″。a为点A的水平投影，a′为点A的正面投影，a″为点A的侧面投影，如图4.3（a）所示。约定：点的侧面投影用相应的小写字母并在右上角加两撇表示。

V面不动，将H面绕O X轴向下旋转90°, W面绕OZ轴向后旋转90°，使它们与V面重合，就得到点的三面投影图，如图4.3（b）所示。

2．点的三面投影规律

依据点的两面投影规律进行扩展，便可得出点的三面投影规律：

（1）点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX。

（2）点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。

（3）空间点到某一投影面的距离等于该点在其他两投影面上的投影到相应投影轴的距离。也就是说，点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，它们反映空间点到V面的距离，即；点的水平投影到OYH轴的距离等于点的正面投影到OZ轴的距离，它们反映空间点到W面的距离，即；点的正面投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OYW轴的距离，它们反映空间点到H面的距离，即a′aX=a″aYW=Aa。

点的三面投影规律，就是形体三投影之所以称为“长对正、高平齐、宽相等”三等关系的理论依据。

在点的三面投影图中，点的3个投影到各投影轴的距离，分别代表空间点到相应投影面的距离。其中任何两个投影都能反映出点到3个投影面的距离，也就是说，点的任意两面投影可以唯一确定点的空间位置。因此，只要给出点的任意两面投影，点的空间位置即确定，可求其第三面投影。

【例4.1】 如图4.4（a）所示，已知点A的H投影a和V投影a′。试求其W投影a″。

作图：如图4.4（b）所示。

（1）过a′作OZ的垂线。

（2）量取aa X=a″a Z, a″即为所求。作图时常利用从原点O引出的45°辅助线将aa X转向a″aZ。

点的投影规律，同样适用于点在投影面或投影轴上的特殊情况。

如图4.5（a）所示，点A位于V面上，其V投影a′与点A自身重合，其H投影a落在OX轴上，其W投影a″落在OZ轴上，按照点的投影规律，点A到V面的距离为零，因此点A在其他两投影面上的投影到相应投影轴的距离为零，即。点B位于OY轴上（即点到两个投影面H、W的距离均为零），其H投影b与W投影b″都与点B自身重合，其V投影b′落在原点O处。图4.5（b）所示为A、B两点的三面投影图。

3．点的投影与直角坐标的关系

如果将三投影面体系看作是直角坐标系，则投影面相当于坐标平面，投影轴相当于坐标轴，点O相当于坐标原点。空间一点到3个投影面的距离便可分别用它的直角坐标x、y、z表示，如图4.3（a）所示。点A的3个坐标值xA、yA、zA分别表示点A到W、V、H面的距离。因此空间一点A的位置可用A（xA, yA, zA）表示；同时在投影图上，点的3个投影也可用其坐标来确定，即a（xA, yA）、a′（xA, zA）、a″（yA, zA）。点的任意两面投影都包含点的3个坐标值，这进一步说明，根据点的两面投影可以唯一确定点的空间位置。

【例4.2】 已知空间点B（15,8,10），试作点B的三面投影图。

分析：根据点的3个投影与坐标的关系，点B的3个投影可表示成b（15,8）、b′（15,10）、b″（8,10），由此可确定b、b′、b″的位置。

作图：如图4.6所示。

（1）先作出投影轴，即坐标轴。分别在OX、OY、OZ轴上，根据坐标xB=15、yB=8、zB=10分别定出bX、bY、bZ。

（2）分别过bX、bY、bZ作相应轴的垂直线，各垂线的交点即为点B的三面投影b、b′、b″。

4.1.3 两点的相对位置

1．两点的相对位置

空间两点的相对位置是指空间两点的上下、左右和前后的位置关系。可由两点的三面投影图反映出来：

V面投影反映两点上下、左右位置关系。

H面投影反映两点左右、前后位置关系。

W面投影反映两点上下、前后位置关系。

这种位置关系也可根据坐标的大小来判别：

按x坐标判别两点的左右关系，x坐标大的在左，小的在右。

按y坐标判别两点的前后关系，y坐标大的在前，小的在后。

按z坐标判别两点的上下关系，z坐标大的在上，小的在下。

图4.7（a）所示为A、B两点的三面投影图。由H投影可知，xA＞xB、yA＜yB，说明点A在点B的左后方，由V投影可知，zA＞zB，说明点A在点B的上方。综合起来得出空间点A在点B的左、后、上方，反过来说，点B在点A的右、前、下方。直观图如图4.7（b）所示。

2．重影点

空间两点的特殊位置，就是两点恰好同在一条垂直于某一投影面的直线上，它们在该投影面上的投影则重合在一起。这种在某一投影面上投影重合的两个点，称为对该投影面的重影点。

如图4.8（a）所示的点A和点B在位于同一条垂直H面的投射线上，它们的水平投影a和b重合，则称点A和B为对H面的重影点，此时在H面上的投影，必然有一点可见，而另一个点不可见，因为点A在点B的正上方，向H面投影时，点A可见，点B被点A遮挡，是不可见的，不可见的投影需加圆括号以区别于可见投影，标记为a（b）。同理，如图4.8（b）所示的点C和D为对V面的重影点，此时点C在点D的正前方，在V面投影上，点C可见，点D不可见，重合投影标记为c′（d′）。图4.8（c）中点E和F为对W面的重影点，此时点E在点F的正左方，在W投影上，点E可见，点F不可见，重合投影标记为e″（f″）。

重影点有两个性质：

（1）对某一投影面的重影点，总有两个坐标值相等，一个坐标值不等。

（2）可以利用不等的坐标值来判断重影点重合投影的可见性，坐标值大的可见，小的不可见。

在图4.8（a）中，xA=xB, yA=yB, zA＞zB。在图4.8（b）中，xC=xD, zC=zD, yC＞yD。在图4.8（c）中，yE=yF, zE=zF, xE＞xF。

【例4.3】 已知点A的三面投影，如图4.9（a）所示。且知点B在点A的右10、前5、下8，点C在点B的正左方15。试完成点B、C的三面投影。

分析：点A的三面投影图为无轴投影图。已知两点的相对位置，求点B的投影可以不画投影轴，利用两点的坐标差作图。为作图简便，需要找出45°辅助线，把H、W面联系起来。

作图：（1）利用a、a″作45°辅助线。如图4.9（b）所示，由a作水平线，a″作垂直线，由交点作45°方向线。

（2）作点B的三面投影。如图4.9（b）所示，由点a或a′向右量取10，作aa′连线的平行线，由a′或a″向下量取8，作a′a″连线的平行线，两线交点为b′；由a向前量取5，水平画至45°线，与右10线相交得b；由a″向前量取5作垂直线，或由45°辅助线转换与下8线相交得到b″。

（3）作点C的三面投影。如图4.9（c）所示，点C在点B的正左方15，因此点C与点B为对W面的重影点，在W面上投影重合。由点b、b′水平向左量取15，得c、c′, c″与b″重合，因为xC＞xB，所以c″可见，b″不可见。

4.1.4 两投影面的扩展

在两投影面体系中，当把H面向V面之后扩展，把V面向H面之下扩展时，扩展后的投影平面将空间分为4个部分，称为4个分角，如图4.10所示。

H面之上，V面之前的空间称第Ⅰ分角；H面之上，V面之后的空间称第Ⅱ分角；H面之下，V面之后的空间称第Ⅲ分角；H面之下，V面之前的空间称第Ⅳ分角。

图4.11中，空间4个点A、B、C、D分别位于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分角内。当将投影面展开时，V面不动，H面绕OX轴旋转，V面前的H面向下旋转与V面重合；V面后的H面向上旋转与V面重合。因此，位于4个分角内的点的两面投影有以下特点：

（1）在第Ⅰ分角中，空间点位于H面之上，V面之前。投影面展开后，点的正面投影位于OX轴之上，水平投影位于OX轴之下，如图4.11点A（a, a′）所示。

（2）在第Ⅱ分角中，空间点位于H面之上，V面之后。投影面展开后，点的水平投影和正面投影均位于OX轴之上，如图4.11点B（b, b′）所示。

（3）在第Ⅲ分角中，空间点位于H面之下，V面之后。投影面展开后，点的水平投影位于OX轴之上，正面投影位于OX轴之下，如图4.11点C（c, c′）所示。

（4）在第Ⅳ分角中，空间点位于H面之下，V面之前。投影面展开后，点的水平投影和正面投影均位于OX轴之下，如图4.11点D（d, d′）所示。