- 从量子到宇宙:颠覆人类认知的科学之旅
- 高鹏
- 535字
- 2021-03-24 04:08:26
3.1 芝诺悖论:你能追上乌龟吗?
阿基里斯是古希腊神话中的跑步健将。假设他和乌龟赛跑,他的速度为乌龟的10倍,乌龟在其前面10m处出发,他在后面追。芝诺可以证明,阿基里斯永远不可能追上乌龟!
当阿基里斯追到10m时,乌龟已经向前爬了1m;而当他追过这1m时,乌龟又已经向前爬了0.1m,他只能再追向那个0.1m(见图3-1)。因为追赶者需要用一段时间才能达到被追者的出发点,这段时间内被追者已经又往前走了一段距离,所以被追者总是在追赶者前面。这样,阿基里斯就永远也追不上乌龟!
图3-1 阿基里斯追乌龟
这个悖论的问题出在哪儿呢?乍一看,其逻辑推理确实是无懈可击的,但实际上这个推理建立的基础是:时间和空间是可以无限分割的。因为芝诺将追赶的过程分成了无穷多个部分,到后来阿基里斯与乌龟的距离无穷小,追上这段距离所需的时间也无穷小。如果时空真能无限分割,那么他就永远也追不上。
数学家们是这么解释的:阿基里斯虽然需要追赶无穷多段路程,每一段路程也需要一定时间,但这无穷多个时间构成的是收敛数列,也就是说,这个无穷数列的总和是有限的。假设阿基里斯速度是10m/s,则这无穷多个时间的总和是10/9s,即
但是数学家们显然回避了另一个问题,就是阿基里斯如何在有限的时间里完成这无穷多个过程?只要是无穷,那就没有尽头,他怎么能一眨眼间就完成了呢?