2. 应用数学

1)常用的计算值

如表1-9所示为自然数的平方、立方、平方根、立方根、自然对数、倒数、圆周长及圆面积的计算。

表1-9 平方、立方、平方根、立方根、自然对数、倒数、圆周长及圆面积表(n=1~100)

续表

续表

续表

2)代数中的常用公式和相互间的关系

(1)移项

a+b=c-d

a=(c-d)-b=c-d-b

c=(a+b)+d=a+b+d

d=c-(a+b)=c-a-b

(2)加减乘除

(+a)+(+b)= +(a+b)=a+b

(+a)+(-b)= +(a-b)=a-b= -(b-a

(+a)-(+b)=(+a)+(-b)=a-b

(+a)-(-b)=(+a)+(+b)=a+b

(-a)+(-b)= -(a+b

(-a)+(+b)= -(a-b)= +(b-a

(-a)-(-b)=(-a)+(+b)=b-a

(-a)-(+b)=(-a)+(-b)= -(a+b

(+a)(+b)= +ab=ab

(-a)(+b)= -ab

(+a)(-b)= -ab

(-a)(-b)= +ab=ab

(+a)÷(+b)= +

(-a)÷(+b)=

(+a)÷(-b)=

(-a)÷(-b)=

a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd

a-b)(c+d)=ac-bc+ad-bd

a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd

a-b)(c-d)=ac-bc-ad+bd

a+0=aa-0=a

a ×0=0;=0(a≠0)

(3)分解因式

a+b2 =a2 +2ab+b2 =(a-b2 +4ab

a-b2 =a2 -2ab+b2

a2 +b2 =a-b2 +2ab

a2 -b2 =a+b)(a-b

a+b+c2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc

=(a+b2 +2(a+bc+c2

a-b+c2 =a2 +b2 +c2 -2ab+2ac-2bc

a+b3 =a3 +3a2 b+3ab2 +b3

a-b3 =a3 -3a2 b+3ab2 -b3

a3 +b3 =(a+b)(a2 -ab+b2

a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2

a ± b4 =a4 ± 4a3 b+6a2 b2 ± 4ab3 +b4

a4 +b4 =(a2 +b2 +)×(a2 +b2 -

(4)一元二次方程式求根

ax2 +bx+c=0

3)三角形的解法和常用公式

(1)三角形中重要的三线与四点

①三角形中三条重要的线,如图1-2所示。

图1-2 三角形的三条线

Ⅰ. 三角形的高线。从三角形的任一顶点到对边或对边的延长线所引的垂直线(图中AD是△ABC的边BC的高线,用ha表示,ACAB边的高分别用hbhc来表示)。

式中 P——△ABC的半周长,P=a+b+c

R——△ABC的外接圆半径。

ha=2Rsinβsinγ=bsinγ=csinβ=

Ⅱ. 三角形的中线。连接三角形任一顶点与其对边中点的线段(图中AE是中线,且BE=EC,用ma 表示,mbmc 为另外两条边的中线,未标)。

Ⅲ. 三角形的角平分线。从三角形任一顶点到对边,并把该角平分的直线(图中AF是∠α的角平分线,用la表示,lblc为另外两条角平分线,未标)。角平分线分角的对边为两部分和其他两边成比例:

BFFC=BAAC

②三角形中四个重要的点。

Ⅰ. 垂心。三角形的三条高线相交于一点O1,如图1-3所示。

1-3 三角形的垂心

Ⅱ. 重心。三角形的三条中线相交于一点O2,如图1-4所示,它在中线上到相应的顶点的距离是中线长度的2/3。

图1-4 三角形的重心

Ⅲ. 内心。三角形的三条角平分线相交于一点,这点又称为三角形的内切圆的圆心O3,如图1-5所示。

图1-5 三角形的内心

Ⅳ. 外心。三角形的三条边的中点上所作三条垂直线相交于一点O4,这点又称为三角形的外接圆的圆心,如图1-6所示。

图1-6 三角形的外心

(2)勾股定理

勾股定理又叫商高定理。在直角三角形中,如果知道了两条边的长度,就可以应用勾股定理求出第三条边的长度。

定理:如图1-7所示,在直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边的平方和,即

c2 =a2 +b2

c=

图1-7 勾股定理的证明

同样,可以把上面公式变为:

a2 =c2 -b2

a=

b2 =c2 -a2

b=

【例1-7】 在直角三角形中,b=12 mm,a=10 mm,求c

解:c= =15.6 mm

【例1-8】 在直角三角形中,c=20 mm,b=12 mm,求a

解:a= =16 mm

(3)三角函数

①定义。如图1-8所示,三角函数的定义如下。

正弦:sinα=

余弦:cosα=

正切:tanα=

余切:cotα=

图1-8 直角三角形与极坐标

②基本关系。

sin2 α+cos2 α=1

tanα·cotα=1

tanα=

cotα=

③常用特殊角的三角函数值如表1-10所示。

表1-10 特殊三角函数值

(4)三角函数表的使用方法

在解直角三角形时,除了利用已有的几个公式外,还可以应用三角函数表的关系求它的值。也就是由已知角求函数值,或者由已知函数值求角度。三角函数表是根据各个不同角度的变化计算出来的,这个表包含0 ° ~90 °间的四个函数值。正弦和余弦表如表1-11所示,正切和余切表如表1-12所示。

表1-11 正弦和余弦表

续表

表1-12 正切和余切表

续表

续表

续表

应用三角函数表的说明:

①由三角函数表可以查出0 ° ~90 °每差1′的各角的正弦、余弦、正切和余切值。各表左边一直列和顶上一横行是查正弦和正切用的;右边一直列和底下一横行是查余弦和余切用的。

②76 °~90 °每差1′各角的正切以及0 ° ~14 °每差1′各角的余切,可以从表上直接查得,例如:

tan81 °34′=6.745,cot5 °46′=9.902

③查正弦、余弦以及0 °~76 °每差1′各角的正切和14 °~90 °每差1′各角的余切,需要用到表中的修正值。例如:

sin70 °32′=sin70 °30′+0.0002

=0.9426+0.0002=0.9428

注意:余弦和余切的值随着角的增加而减小。例如:

cos18 °39′=cos18 °36′-0.0003=0.9478-0.0003

=0.9475(修正值用“-”)

cos18 °39′=cos18 °42′+0.0003=0.9472+0.0003

=0.9475(修正值用“+”)

cot24 °46′=cot24 °48′+0.003=2.164+0.003

=2.167(修正值用“+”)

为了避免弄错修正值的“+”、“-”号,在查一个锐角的余弦值或余切值时,可以改查它的余角的正弦值或正切值。例如,要查cos18 °39′可以改查sin71 °21′。

④已知一个角的正弦、余弦、正切、余切,也可以利用这个表查出它所对应的锐角的度数来。

【例1-9】 已知sinA=0.5643,求∠A。

解:从表1-11上查得最接近0.5643的正弦值为0.5650,所对应的角是34 °24′;0.5650-0.5643=0.0007,在0.5650所在的横行中查得0.0007所对应的角是3′。

则∠A=34 °24′-3′=34 °21′

【例1-10】 查表求sin18 °的值。

解:查正弦表1-11,在表的左边标有A的纵列找到18 °,在上方横行找到0′,它们的查列交叉处可得到3090,为小数部分,整数部分为0(注明在表中五个横行的左边的第一栏处)。因此可得出:

sin18 °=0.3090

当所查角的角度分数不是6的整数倍时,可先在表中查得一个最接近它的角度的函数值,然后用表中右边“修正值”栏中的数值修正其差异部分。

【例1-11】 求sin15 °8′的值。

解:在表1-11中先查出sin15°6′=0.2605,再在0.2605所在横行与“修正值”栏中2′的交叉处查得修正值为“6”,把它加在0.2605的最末一位,即

sin15 °8′=0.2605+0.0006=0.2611

若是查的角度小于表中查得的最接近它的角度时,则应减去修正值。

查余弦时,所查角大于表中查得的最接近的角度,减去修正值;所查角小于表中最接近角度时,则加上修正值。正切和余切表的查表方法与正弦和余弦基本相同。

(5)直角三角形的解法

根据直角三角形的某些已知元素,可以求出其余的未知元素。

【例1-12】 在直角三角形中,已知a=32 mm,b=24 mm,求∠Ac

解:tanA==1.333

查三角函数表得A=53 °8′

c有两种方法:

用勾股弦定理:c==40 mm

用三角公式:c==40 mm

【例1-13】 在直角三角形中,已知c=60 mm,∠A=60 °,求ab

解:a=csinA=60×sin60°=60×0.866=51.96mm

b=ccosA=60×cos60°=60×0.5=30mm

【例1-14】在直角三角形中,已知b=16mm,∠A=12°14′,求a和∠B

解:a=btanA=16×tan12°14′=16×0.216 82=3.469mm

B=90 °-12 °14′=77 °46′

(6)等腰三角形的解法

在三角形中,如果两条边相等,则这个三角形叫做等腰三角形,如图1-9所示。在等腰三角形中,AB=BC,∠A=∠C,它的高BD垂直且平分第三边(不等边),并将此三角形分为两个直角三角形。

图1-9 等腰三角形

【例1-15】 在等腰三角形中,AB =40 mm,∠A =50 ° 20′的等腰三角形,求∠ABD、∠CBD

解:ABD=90 °-∠A=90 °-50 °20′=39 °40′

C=∠A=50 °20′

BD=AB×sinA=40×sin50°20′=40×0.77=30.8mm

(7)等边三角形的解法

在三角形中,如果三条边都相等,则这个三角形就叫做等边三角形,如图1-10所示。等边三角形的三个内角都是60 °,其高平分顶角,并垂直平分底边。

图1-10 等边三角形

【例1-16】 在等边三角形中,BD =100mm,求∠ABDAB

解:A=60 °

ABD=90 °-∠A=90 °-60 °=30 °

AB==115.47 mm

(8)斜三角形的解法

如图1-11所示为斜三角形。

图1-11 斜三角形

abc为三角形的各边;

αβγ为三角形相应对角;

R为外接圆半径;

r为内切圆半径;

S为三角形面积,S=

P为三角形的半周长,P=a+b+c)。

①正弦定理:

②余弦定理:

a2 =b2 +c2 -2bccosα

b2 =c2 +a2 -2cacosβ

c2 =a2 +b2 -2abcosγ

③斜三角形的计算公式如表1-13所示。

表1-13 斜三角形的计算公式

(9)常用公式

①同角三角函数间的关系:

tanα=;sin2 α+cos2 α=1

cotα=;tan2 α+1=

tanα·cotα=1;cot2 α+1=

②诱导公式如表1-14所示。

表1-14 诱导公式

③两角和、两角差、倍角和半角的三角函数:

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

tan(α+β)=

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α-β)=

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2 α-sin2 α=1-2sin2 α=2cos2 α-1

tan2 α=

sin α2 =

cos