第3章 一组组石头与加减乘除运算

就像世界上的其他东西一样，算术有它严肃性的一面，也有它趣味性的一面。

对于算术严肃性的一面，你可能已经非常熟悉了，不外乎是我们在学校里数学课上学到的内容，以及日后我们在工作中用到的算术：如何处理一列列的数字，如何把它们相加，如何把它们相减，如何把它们放进表单里进行计算，如何处理税务报表和年终报表上的数字等。算术严肃性的一面当然是非常实用的，也是非常必要的，但对大多数人来说，它也是枯燥无味、毫无乐趣的。

算术趣味性的一面是怎样的呢？大部分人对此都非常陌生，除非你接受的是培养高级数学家的数学教育。但其实，这并不像你想的那么高深莫测，只要拥有孩子般的好奇心，算术趣味性的一面就是一些十分自然、十分简单的内容。

在保罗·洛克哈特的著作《一个数学家的叹息》中，作者认为，在儿童教育中，教师应该用一种更具体的方式向孩子们展示数字的概念。他认为，应该让孩子们把数字想象成一组组石头。比如，数字6就是如下图所示的一组石头。

现在，你可能会觉得这种表示方法没什么意思，把数字表示成一组组石头，又能怎么样？这组石头和那组石头有什么区别吗？好吧，把数字表示成一组组石头确实不是什么惊人的创举，但是，先别着急下结论，让我们来挪动一下这些石头，情况可能就会大不一样。别忘了，人类的创造性不是表现在我们有什么东西，而是表现在我们如何使用所拥有的东西上。

比如说，我们把着眼点放在分别有1~10块石头的组别中。在这10组石头里，哪几组石头可以被摆成一个正方形呢？显然，只有两组可以，那就是4块石头那一组和9块石头那一组。为什么呢？因为4=2×2，9=3×3。4和9这两个数字是其他数字的平方，所以能够被摆成一个正方形，这样的数字我们称之为“平方数”。

下面，我们再来看另外一个问题：在这10组石头中，有哪几组可以摆成一个两行，并且每行的石头数量一样多的长方形？这个问题也不难吧：2、4、6、8、10都可以，因为它们都是能被2整除的偶数。而剩下的5个数字——也就是奇数，就不能摆成石头数量相同的两行，不信你试试看，一定会有一块石头多出来。

但是，如果把上图中的任意两组石头拼在一起，两组石头就可以组成一个规则的长方形。抽象成数学规律，那就是：奇数＋奇数=偶数。

好，现在让我们把上面的游戏规则放宽一些：我们不仅考虑10以下的数字，也考虑大于10的数字；同时，拼长方形的时候，我们不要求石头一定要摆成两行，我们也接受行数多于2的长方形。在这样的条件下，我们可以发现，有些石头数量为奇数的组也能被摆成规则的长方形。比如，15块石头的一组可以被摆成一个3乘以5的长方形。

于是，我们可以看出，虽然15毫无疑问是一个奇数，但它也是一个“可以被分解的数字”：15可以被分解为3个“5”。这样的数字我们称之为“合数”。与15一样，乘法表上的任何一个数字都可以被摆放成一个完整的长方形。

然而，我们不难发现，有一些数字，无论你怎么摆放，都不可能摆出一个完整的长方形（此处我们假设1行不算是一个长方形，两行或两行以上才算作长方形）；无论你摆几行，总是会有多出来的石头。这些数字“脾气”古怪，完全无法被分解，除了把它们摆成一行以外，我们拿它们完全没辙。这类“脾气古怪”的数字就是我们常说的“质数”。

看，不同的数字的确有不同的结构特点，这些结构特点就是数字的“性格”和“脾气”。但是，为了充分了解数字的行为特点，我们不能只研究一个个孤立数字的性质，我们需要把它们摆放到一起，看看数字是如何相互作用的。

我们已经知道，奇数＋奇数=偶数，那么如果从1开始，把连续的奇数相加，会发生什么呢？

1＋3=4

1＋3＋5=9

1＋3＋5＋7=16

1＋3＋5＋7＋9=25

你有没有发现，这些连续奇数的和总是一个平方数（在前面的讨论中，我们已经介绍了平方数的概念，比如4和9就分别是2和3的平方，而且4×4=16，5×5=25，所以16和25也是平方数）。你可以很容易地验证，当你继续加上更大的连续奇数，这个规律仍然成立。事实上，这条规律是没有界限的，你可以一直往上加到正无穷大，从1开始的连续奇数的和永远会是一个平方数。那么，为什么会有这样的规律呢？这些带着难看的附属物、永远也摆不整齐的奇数，为什么会和绝对对称、焕发着古典平衡美光芒的平方数扯上关系呢？其实，只要把一组组石头按照正确的方式摆放，这条看似奇怪的规律就会变得十分明显。千万别小看排列石头的这种技巧，它就是优雅的数学证明的雏形 ！

其实，这其中的关键点是一个很简单的事实：所有奇数块的石头都一定可以摆成一个横边和竖边一样长的L字形。只要把多出来的那块石头放在L字横边和竖边的交界处，然后把剩下的石头分成相同数量的两组，分别作为L字的横边和竖边就可以了。然后，只要你把边长分别相差1的几个等边L字形叠加在一起，一直叠加到边长为1的L字形为止，你就一定会得到一个正方形。看了下面的图形，应该就一目了然了。

这种化数字为图形的思维方式，在最近出版的另一本书籍中也有应用，当然这本书和《一个数学家的叹息》一书的性质和写作目的都有很大的不同。小川洋子的小说《博士最爱的公式》讲述了一个非常引人入胜的故事：一名聪明能干但没受过多少正规教育的年轻家政女工和她10岁的儿子受雇照料一位年迈的数学家。这位数学家脑部遭受了创伤性损伤，导致他只有80分钟的短暂记忆，这位缺失长期记忆的数学家因此只能过着一种奇怪的“活在当下的”生活。他终日困坐在自己的小房间里，除了数字，他已经什么都没有了。出于想与人交流的本能，这位数学家试图和这位家政女工进行沟通，但是他所掌握的语言只剩下数字了，所以他只能通过询问家政女工的鞋码和生日等数字，并对这些数字进行奇怪的数学分析来达到交流的目的。同时，数学家很喜欢家政女工的儿子，他给这个小男孩起了个昵称叫“根号”，因为小男孩的头顶十分扁平，使数学家想到了根号的形状。

有一天，数学家给“根号”小朋友出了一个小小的题目，他说：“根号，你能算出1到10这10个数字的和吗？”

经过认真的加法运算，“根号”小朋友回答说：“答案是55。”

数学家又问他：“有没有什么更巧妙的算法，能不做加法就直接得到答案呢？”

“根号”小朋友有些生气，他踢着椅子大叫道：“不能做加法？这也太不公平了吧！”

有趣的是，这位聪明的家政女工自己却慢慢地被数字的世界所吸引，她开始悄悄地试着解开数学家出的这道谜题。这个家政女工说：“我也不知道自己为何会被小孩子的数学题所吸引，这些问题千奇百怪，看起来也没有什么实际的价值，似乎只是小孩子的游戏罢了。一开始，我是有意识地想取悦我的这位古怪的雇主。但是慢慢的，这种功利的目的已经被我抛到脑后了，我只是单纯地在和这些题目较劲儿，非要把它们解出来。早晨，我一觉醒来，头脑中第一个出现的问题居然是数学家给出的这个算式：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=55。而且，这个算式一整天都在我的脑子里转来转去。这个算式就像刻在了我的头脑中，无论如何我都不能摆脱它。”

实际上，这位数学家给出的这道小谜题可以有多种解法。（试试看，你能找出几种？）在小说接下来的情节中，数学家自己给出了这样的解法：他说，1到10这10个数字可以看作一组组的石块，这些石块可以被摆成一个三角形，第1行是1块石头，第2行是2块石头，以此类推，第10行是10块石头。

上图有什么明显的特点？那就是这个长方形看起来不完整，似乎只有1/2；而缺失的另外1/2正好给了我们发挥创造力的空间。如果我们把图中的三角形复制一下，再颠倒一下，拼接到空白的地方，那么这个不完整的长方形就被我们补齐了。补齐后的矩阵形式更加简单：它是一个由10行石块组成的长方形，每一行有11块石头，显然，补齐后，石头的总数是110块。

我们知道，补全为长方形后，石头的总数增加了一倍。也就是说，原来的石头的块数是现在的1/2，用110除以2，我们就可以轻松地知道原来石头的块数是55块。

这种借助摆石头来做算术的方法，可能看起来有些奇怪，但其实这是一种非常古老的计算手段，数学有多长的历史，这种摆石头算法的历史就有多长。熟悉语言学的读者应该知道，计算一词，英文中叫作calculate，这个词是由拉丁语词汇calculus演化而来的，calculus在拉丁语中的意思正是“计算用的鹅卵石”。要体会计算的乐趣，领略数学的美妙，你并不需要爱因斯坦般的天赋（“爱因斯坦”在德语中的意思是“一块石头”），但手持一些小石块确实能够帮助你更直观、更形象地理解一些巧妙的计算方法。